Question

（2009•中山）（1）如图1，圆内接△ABC中，AB=BC=CA，OD、OE为⊙O的半径，OD⊥BC于点F，OE⊥AC于点G，
求证：阴影部分四边形OFCG的面积是△ABC的面积的．
（2）如图2，若∠DOE保持120°角度不变，
求证：当∠DOE绕着O点旋转时，由两条半径和△ABC的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是△ABC的面积的．

Answer

（1）本题要依靠辅助线的帮助．连接OA，OC，证明Rt△OFC≌Rt△OGC≌Rt△OGA后求得S△OAC=S△ABC，易证SOFCG=S△ABC．
（2）本题有多种解法．连接OA，OB和OC，证明△AOC≌△COB≌△BOA，求出∠AOC以及∠DOE之间的关系即可．
证明：（1）如图1，连接OA，OC；
因为点O是等边三角形ABC的外心，
所以Rt△OFC≌Rt△OGC≌Rt△OGA，
S四边形OFCG=2S△OFC=S△OAC，
因为S△OAC=S△ABC，
所以S四边形OFCG=S△ABC．

（2）证法一：
连接OA，OB和OC，则
△AOC≌△COB≌△BOA，∠1=∠2；
设OD交BC于点F，OE交AC于点G，
∠AOC=∠3+∠4=120°，∠DOE=∠5+∠4=120°，
∴∠3=∠5；
在△OAG和△OCF中
，
∴△OAG≌△OCF，
∴S△OAG=S△OCF，
∴S△OAG+S△OGC=S△OCF+S△OGC，
即S四边形OFCG=S△OAC=S△ABC；

证法二：
设OD交BC于点F，OE交AC于点G；
作OH⊥BC，OK⊥AC，垂足分别为H、K；
在四边形HOKC中，∠OHC=∠OKC=90°，∠C=60°，
∴∠HOK=360°-90°-90°-60°=120°，
即∠1+∠2=120度；
又∵∠GOF=∠2+∠3=120°，
∴∠1=∠3，
∵AC=BC，
∴OH=OK，
∴△OGK≌△OFH，
∴S四边形OFCG=S四边形OHCK=S△ABC．