Question

（2010•福州）如图，在△ABC中，∠C=45°，BC=10，高AD=8，矩形EFPQ的一边QP在边上，E、F两点分别在AB、AC上，AD交EF于点H．
（1）求证：；
（2）设EF=x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大？并求其最大值；
（3）当矩形EFPQ的面积最大时，该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线QC匀速运动（当点Q与点C重合时停止运动），设运动时间为t秒，矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式．

Answer

（1）易证得△AEF∽△ABC，而AH、AD是两个三角形的对应高，EF、BC是对应边，它们的比都等于相似比，由此得证；
（2）此题要转化为函数的最值问题来求解；由（1）的结论可求出AH的表达式，进而可得到HD（即FP）的表达式；已求得了矩形的长和宽，即可根据矩形的面积公式得到关于矩形EFPQ的面积和x的函数关系式，根据函数的性质即可得到矩形的最大面积及对应的x的值；
（3）此题要理清几个关键点，当矩形的面积最大时，由（2）可知此时EF=5，EQ=4；易证得△CPF是等腰Rt△，则PC=PF=4，QC=QP+PC=9；
一、P、C重合时，矩形移动的距离为PC（即4），运动的时间为4s；
二、E在线段AC上时，矩形移动的距离为9-4=5，运动的时间为5s；
三、Q、C重合时，矩形运动的距离为QC（即9），运动的时间为9s；
所以本题要分三种情况讨论：
①当0≤t＜4时，重合部分的面积是矩形EFPQ与等腰Rt△FMN（设AC与FE、FP的交点为M、N）的面积差，FM的长即为梯形移动的距离，由此可得到S、t的函数关系式；
②当4≤t＜5时，重合部分是个梯形，可用t表示出梯形的上下底，进而由梯形的面积公式求得S、t的函数关系式；
③当5≤t≤9时，重合部分是个等腰直角三角形，其直角边的长易求得，即可得出此时S、t的函数关系式．
（1）证明：∵四边形EFPQ是矩形，∴EF∥QP
∴△AEF∽△ABC
又∵AD⊥BC，
∴AH⊥EF；
∴=；

（2）【解析】
由（1）得=，∴AH=x
∴EQ=HD=AD-AH=8-x
∴S矩形EFPQ=EF•EQ=x（8-x）=-x2+8x=-（x-5）2+20
∵-＜0，
∴当x=5时，S矩形EFPQ有最大值，最大值为20；

（3）【解析】
如图1，由（2）得EF=5，EQ=4
∵∠C=45°，△FPC是等腰直角三角形．
∴PC=FP=EQ=4，QC=QP+PC=9
分三种情况讨论：
①如图2，当0≤t＜4时，
设EF、PF分别交AC于点M、N，
则△MFN是等腰直角三角形；
∴FN=MF=t
∴S=S矩形EFPQ-SRt△MFN=20-t2=-t2+20

②如图3
当4≤t＜5时，则ME=5-t，QC=9-t，
∴S=S梯形EMCQ=[（5-t）+（9-t）]×4=-4t+28

③如图4
当5≤t≤9时，设EQ交AC于点K，则KQ=QC=9-t
∴S=S△KQC=（9-t）2=（t-9）2
综上所述：S与t的函数关系式为：
S=．