Question

（2006•南通）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，B（5，0），M为等腰梯形OBCD底边OB上一点，OD=BC=2，∠DMC=∠DOB=60度．
（1）求点D，B所在直线的函数表达式；
（2）求点M的坐标；
（3）∠DMC绕点M顺时针旋转α（0°＜α＜30°后，得到∠D₁MC₁（点D₁，C₁依次与点D，C对应），射线MD₁交边DC于点E，射线MC₁交边CB于点F，设DE=m，BF=n．求m与n的函数关系式．

Answer

（1）过点D作DA⊥OB，垂足为A．利用三角函数可求得，点D的坐标为（1，），设直线DB的函数表达式为y=kx+b，把点B（5，0），D（1，）代入解析式利用待定系数法，得直线DB的函数表达式为y=-x+；
（2）先证明△ODM∽△BMC．得，所以OD•BC=BM•OM．设OM=x，则BM=5-x，得2×2=x（5-x），解得x的值，即可求得M点坐标；
（3）（Ⅰ）当M点坐标为（1，0）时，如图①，OM=1，BM=4．先求得DME∽△CMF，所以，
可得CF=2DE．所以2-n=2m，即m=1-．（Ⅱ）当M点坐标为（4，0）时，OM=4，BM=1．同（Ⅰ），可得△DME∽△CMF，得，所以DE=2CF．解得m=2（2-n），即m=4-2n．
【解析】
（1）过点D作DA⊥OB，垂足为A．
在Rt△ODA中，∠DAO=90°，∠DOB=60°，
∴DA=OD•sin∠DOB=，
OA=OD•cos∠DOB=1，
∴点D的坐标为（1，），
设直线DB的函数表达式为y=kx+b，
由B（5，0），D（1，），得，
解得，
∴直线DB的函数表达式为y=-x+；

（2）∵∠DMC=∠DOB=60°，
∴∠ODM+∠DMO=120°，∠DMO+∠CMB=120°，
∴∠ODM=∠CMB，
∵等腰梯形ABCD的∠DOB=∠CBO，
∴△ODM∽△BMC，
∴，
∴OD•BC=BM•OM，
∵B点为（5，0），
∴OB=5．
设OM=x，则BM=5-x
∵OD=BC=2，
∴2×2=x（5-x），
解得x1=1，x2=4，
∴M点坐标为（1，0）或（4，0）；

（3）【解析】
（Ⅰ）当M点坐标为（1，0）时，如图1，
OM=1，BM=4．
∵DC∥OB，
∴∠MDE=∠DMO，
又∵∠DMO=∠MCB，
∴∠MDE=∠MCB，
∵∠DME=∠CMF=α，
∴△DME∽△CMF，
∴，
∴CF=2DE，
∵CF=2-n，DE=m，
∴2-n=2m，即m=1-；
（Ⅱ）当M点坐标为（4，0）时，如图2
OM=4，BM=1．
同（Ⅰ），可得△DME∽△CMF，
∴，
∴DE=2CF，
∵CF=2-n，DE=m，
∴m=2（2-n），即m=4-2n．
综上所述，m与n的函数关系式为：m=1-或m=4-2n．