Question

（2006•威海）抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）过点A（1，-3），B（3，-3），C（-1，5），顶点为M点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）试判断抛物线上是否存在一点P，使∠POM=90度？若不存在，说明理由；若存在，求出P点的坐标；
（3）试判断抛物线上是否存在一点K，使∠OMK=90°？说明理由．

Answer

（1）已知了抛物线上A、B、C三点的坐标，可将三点坐标代入抛物线中，通过联立方程组求出抛物线的解析式．
（2）本题可通过构建相似三角形来求解，过P作PE⊥y轴于E，过M作MF⊥y轴于F，如果∠POM=90°，那么△PEO∽△OFM，那么PE：OF=OE：BF，可根据抛物线的解析式求出M点的坐标，设出P点的坐标，然后根据得出的比例关系式即可求出P点的坐标．
（3）可过M作OM的垂线，设其与y轴的交点为N，如果直线MN与抛物线的交点除了M外还有另外一个，那么此点必为K点，因此关键是求出直线MN的解析式，然后联立抛物线的解析式，看两函数的交点个数即可．
【解析】
（1）根据题意，得
，
解得；
∴抛物线的解析式为y=x2-4x．

（2）抛物线上存在一点P，使∠POM=90˚．
x=-=-=2，y==-4．
∴顶点M的坐标为（2，-4）．
设抛物线上存在一点P，满足OP⊥OM，其坐标为（a，a2-4a）．
过P点作PE⊥y轴，垂足为E；过M点作MF⊥y轴，垂足为F．
则∠POE+∠MOF=90˚，∠POE+∠EPO=90˚．
∴∠EPO=∠FOM．
∵∠OEP=∠MFO=90˚，
∴Rt△OEP∽Rt△MFO．
∴OE：MF=EP：OF．
即（a2-4a）：2=a：4．（7分）
解，得a1=0（舍去），a2=．
∴P点的坐标为（，）．

（3）过顶点M作MN⊥OM，交y轴于点N．则∠FMN+∠OMF=90˚．
∵∠MOF+∠OMF=90˚，
∴∠MOF=∠FMN．
又∵∠OFM=∠MFN=90˚，
∴△OFM∽△MFN．
∴OF：MF=MF：FN．
即4：2=2：FN．
∴FN=1．
∴点N的坐标为（0，-5）．
设过点M，N的直线的解析式为y=kx+b．

解得
直线的解析式为y=x-5．
∴
把①代入②，
得x2-x+5=0．△=（-）2-4×5=-20=＞0．
∴直线MN与抛物线有两个交点（其中一点为顶点M）．
∴抛物线上必存在一点K，使∠OMK=90°．