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(2006•内江)已知,二次函数y=mx2+3(m-manfen5.com 满分网)x+4(m<0)与x轴交于A、B两点,(A在B的左边),与y轴交于点C,且∠ACB=90度.
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)矩形DEFG的一条边DG在AB上,E、F分别在BC、AC上,设OD=x,矩形DEFG的面积为S,求S关于x的函数解析式;
(3)将(1)中所得抛物线向左平移2个单位后,与x轴交于A′、B′两点(A′在B′的左边),矩形D′E′F′G′的一条边D′G′在A′B′上(G′在D′的左边),E′、F′分别在抛物线上,矩形D′E′F′G′的周长是否存在最大值?若存在,请求出最大值;若不存在,请说明理由.
(1)根据二次函数的解析式可以得到C的坐标是(0,4),则OC=4,∠ACB=90°且OC⊥AB,因而满足射影定理,因而有C02=AO•OB,AO•OB就是方程mx2+3(m-)x+4=0的两根的积,根据韦达定理,AO•OB就可以用m表示出来.得到关于m的方程,求出m的值. (2)已知OD=x,即E点的横坐标是x,代入抛物线的解析式就可以求出E点的纵坐标;抛物线与x轴的交点坐标容易得到,根据待定系数法就可以求出直线AC的解析式.把E点的纵坐标代入AC的解析式就可以求出F点的横坐标,就可以得到EF的长(用x表示出来).则函数解析式就可以得到. (3)在原来抛物线解析式中用x+2代替解析式中的x,就可以得到平移后的抛物线的解析式.可以设D’(x,O),同(2)中的解法就可以求出矩形D′E′F′G′的周长关于x的函数,根据二次函数的性质求最值. 【解析】 (1)∵CO2=AO•OB m=- y=-x2-x+4 (2)A(-8,0),B(2,0) OD=x ED=4-2xEF=5x S=ED•EF=-10x2+20x(0<x<2) (3)平移后的抛物线y′=x2- ∴A′(-10,0)B’(0,0) 设D’(x,0),则G’(-10-x,0) E'(x,x2-x), F'(-10-x,x2-x) C矩形D'E'F'G'=2(GD+DE) =2[10+2x+(x2-x)] =-x2-x+20(-5<x<0) 当x=-1时,C矩形D'E'F'G'最大值=20.5.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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