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(2006•龙岩)如图,已知抛物线y=-manfen5.com 满分网x2+bx+c与坐标轴交于A,B,C三点,点A的横坐标为-1,过点C(0,3)的直线y=-manfen5.com 满分网x+3与x轴交于点Q,点P是线段BC上的一个动点,PH⊥OB于点H.若PB=5t,且0<t<1.
(1)确定b,c的值;
(2)写出点B,Q,P的坐标(其中Q,P用含t的式子表示);
(3)依点P的变化,是否存在t的值,使△PQB为等腰三角形?若存在,求出所有t的值;若不存在,说明理由.

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(1)将A、C的坐标代入抛物线中即可求得待定系数的值. (2)根据抛物线的解析式可求得B点的坐标,即可求出OB,BC的长,在直角三角形BPH中,可根据BP的长和∠CBO三角函数求出PH,BH的长,进而可求出OH的长,也就求出了P点的坐标.Q点的坐标,可直接由直线CQ的解析式求得. (3)本题要分情况讨论: ①PQ=PB,此时BH=QH=BQ,在(2)中已经求得了BH的长,BQ的长可根据B、Q点的坐标求得,据此可求出t的值. ②PB=BQ,那么BQ=BP=5t,由此可求出t的值. ③PQ=BQ,已经求得了BH的长,可表示出QH的长,然后在直角三角形PQH中,用BQ的表达式表示出PQ,即可用勾股定理求出t的值. 【解析】 (1)已知抛物线过A(-1,0)、C(0,3),则有: , 解得, 因此b=,c=3; (2)令抛物线的解析式中y=0,则有-x2+x+3=0, 解得x=-1,x=4; ∴B(4,0),OB=4, 因此BC=5, 在直角三角形OBC中,OB=4,OC=3,BC=5, ∴sin∠CBO=,cos∠CBO=, 在直角三角形BHP中,BP=5t, 因此PH=3t,BH=4t; ∴OH=OB-BH=4-4t, 因此P(4-4t,3t). 令直线的解析式中y=0,则有0=-x+3,x=4t, ∴Q(4t,0). (3)存在t的值,有以下三种情况 ①如图1,当PQ=PB时, ∵PH⊥OB,则QH=HB, ∴4-4t-4t=4t, ∴t=, ②当PB=QB得4-4t=5t, ∴t=, ③当PQ=QB时,在Rt△PHQ中有QH2+PH2=PQ2, ∴(8t-4)2+(3t)2=(4-4t)2, ∴57t2-32t=0, ∴t=,t=0(舍去), 又∵0<t<1, ∴当或或时,△PQB为等腰三角形.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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