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(2006•柳州)如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的象经过A(-1,0)、...

(2006•柳州)如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的象经过A(-1,0)、B(3,0)、N(2,3)三点,且与y轴交于点C.
(1)求这个二次函数的解析式,并写出顶点M及点C的坐标;
(2)若直线y=kx+d经过C、M两点,且与x轴交于点D,试证明四边形CDAN是平行四边形;
(3)点P是这个二次函数的对称轴上一动点,请探索:是否存在这样的点P,使以点P为圆心的圆经过A、B两点,并且与直线CD相切?如果存在,请求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.

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(1)根据题意将点A,B,N的坐标代入函数解析式,组成方程组即可求得; (2)求得点C,M的坐标,可得直线CM的解析式,可求得点D的坐标,即可得到CD=,AN=,AD=2,CN=2,根据平行四边形的判定定理可得四边形CDAN是平行四边形; (3)假设存在这样的点P,使以点P为圆心的圆经过A、B两点,并且与直线CD相切,因为这个二次函数的对称轴是直线x=1,故可设P(1,y),则PA是圆的半径且PA2=y2+22, 过P做直线CD的垂线,垂足为Q,则PQ=PA时以P为圆心的圆与直线CD相切. 由第(2)小题易得:△MDE为等腰直角三角形,故△PQM也是等腰直角三角形,继而求得满足题意的点P存在,其坐标为(1,)或(1,). 【解析】 (1)因为二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(-1,0)、B(3,0)、N(2,3) 所以,可建立方程组:, 解得: 所以,所求二次函数的解析式为y=-x2+2x+3, 所以,顶点M(1,4),点C(0,3). (2)直线y=kx+d经过C、M两点, 所以, 即k=1,d=3, 直线解析式为y=x+3. 令y=0,得x=-3, 故D(-3,0) ∴CD=,AN=,AD=2,CN=2 ∴CD=AN,AD=CN(2分) ∴四边形CDAN是平行四边形. (3)假设存在这样的点P,使以点P为圆心的圆经过A、B两点,并且与直线CD相切, 因为这个二次函数的对称轴是直线x=1, 故可设P(1,y), 则PA是圆的半径且PA2=y2+22, 过P做直线CD的垂线,垂足为Q,则PQ=PA时以P为圆心的圆与直线CD相切. 由第(2)小题易得:△MDE为等腰直角三角形, 故△PQM也是等腰直角三角形, 由P(1,y)得PE=y,PM=|4-y|,, 由PQ2=PA2得方程:, 解得,符合题意, 所以,满足题意的点P存在,其坐标为(1,)或(1,).
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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