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(2006•柳州)如图,抛物线y=-x2+2mx+m+2的图象与x轴交于A(-1,0),B两点,在x轴上方且平行于x轴的直线EF与抛物线交于E,F两点,E在F的左侧,过E,F分别作x轴的垂线,垂足是M,N.
(1)求m的值及抛物线的顶点坐标;
(2)设BN=t,矩形EMNF的周长为C,求C与t的函数表达式;
(3)当矩形EMNF的周长为10时,将△ENM沿EN翻折,点M落在坐标平面内的点记为M',试判断点M'是否在抛物线上?并说明理由.

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(1)因为抛物线上的点的坐标符合解析式,将A的坐标代入解析式即可求得m的值,进而求出解析式,即可求得顶点坐标; (2)求出A、B两点坐标,可表示出MN的长,求出F点纵坐标,可知NF的长,利用矩形面积公式即可求出C与t的函数表达式; (3)根据反折变换的性质(反折前后图形全等),结合勾股定理,求出M’点坐标,代入二次函数解析式验证. 【解析】 (1)由于抛物线过点A(-1,0), 于是将A代入y=-x2+2mx+m+2 得-1-2m+m+2=0, 解得m=1, 函数解析式为y=-x2+2x+3, 解析式可化为y=-(x-1)2+4,顶点纵坐标为(1,4). (2)因为函数解析式为y=-x2+2x+3, 所以当y=0时可得-x2+2x+3=0,解得x1=-1,x2=3, 则AB=3-(-1)=4. 又因为BN=t,M、N关于对称轴对称, 所以AM=t.于是MN=4-2t, N点横坐标为3-t,代入抛物线得:yF=-t2+4t. 于是C=2(4-2t)-2(t-2)2+8, 整理得C=-2t2+4t+8; (3)当-2t2+4t+8=10时,解得t=1,MN=4-2t=4-2=2; FN=-12+4=3,因为t=1,所以M与O点重合,连接MM'、EN, 且MM'和E相交于K,根据反折变换的性质,MK=M'K. 根据同一个三角形面积相等,2×3=•MK 于是MK=,MM'= 作M'H⊥MN的延长线于H. 设NH=a,HM′=b, 于是在Rt△NHM'和RT△MHM'中,, 解得a=,b=. 于是MH=2+=. M'点坐标为(,), 代入函数解析式y=-x2+2x+3,y=-x2+2x+3=-()2+2×+3=≠,点M'不在抛物线上.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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