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(2006•锦州)如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC为菱形,点C的坐标为(...

(2006•锦州)如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC为菱形,点C的坐标为(4,0),∠AOC=60°,垂直于x轴的直线l从y轴出发,沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动,设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M、N(点M在点N的上方).
(1)求A、B两点的坐标;
(2)设△OMN的面积为S,直线l运动时间为t秒(0≤t≤6),试求S与t的函数表达式;
(3)在题(2)的条件下,t为何值时,S的面积最大?最大面积是多少?
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(1)已知了菱形的边长,过A作AD⊥OC于D,在直角三角形OAD中,可根据OA的长和∠AOC的度数求出OD和AD的长,即可得出A点坐标,将A的坐标向右平移4个单位即可得出B点坐标. (2)当l过A点时,ON=OD=2,因此t=2;当l过C点时,ON=OC=4,此时t=4.因此本题可分三种情况: ①当0≤t≤2时,直线l与OA、OC两边相交,此时ON=t,MN=t,根据三角形的面积公式即可得出S,t的函数关系式. ②当2<t≤4时,直线l与AB、OC两边相交,此时三角形OMN中,NM的长与AD的长相同,而ON=t,由此就不难得出S,t的函数关系式. ③当4<t≤6时,直线l与AB、BC两边相交,可设直线l与x轴交点为H,那么三角形OMN可以MN为底,OH为高来计算其面积.OH的长为t,而MN的长可通过MH-NH来求得,其中,MH可用OH和∠MOH的正切值求出,HN可用CH的长和∠BCH的正切值求出.据此可得出关于S,t的函数关系式. (3)根据(2)中各函数的性质和各自的自变量的取值范围可得出S的最大值及对应的t的值. 【解析】 (1)∵四边形OABC为菱形,点C的坐标为(4,0), ∴OA=AB=BC=CO=4. 过点A作AD⊥OC于D. ∵∠AOC=60°, ∴OD=2,AD=2. ∴A(2,2),B(6,2).(3分) (2)直线l从y轴出发,沿x轴正方向运动与菱形OABC的两边相交有三种情况: ①0≤t≤2时,直线l与OA、OC两边相交,(如图①). ∵MN⊥OC, ∴ON=t. ∴MN=ONtan60°=t. ∴S=ON•MN=t2.(4分) ②当2<t≤4时,直线l与AB、OC两边相交,(如图②). S=ON•MN=×t×2=t.(6分) ③当4<t≤6时,直线l与AB、BC两边相交,(如图③). 设直线l与x轴交于点H. ∵MN=2-(t-4)=6-t, ∴S=OH•MN=t(6-t) =-t2+3t. (3)由(2)知,当0≤t≤2时,S最大=×22=2, 当2<t≤4时,S最大=, 当4<t≤6时,配方得S=-(t-3)2+, ∴当t=3时,函数S=-t2+3t的最大值是. 但t=3不在4<t≤6内, ∴在4<t≤6内,函数S=-t2+3t的最大值不是. 而当t>3时,函数S=-t2+3t随t的增大而减小, ∴当4<t≤6时,S<4. 综上所述,当t=4时,S最大=.
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考点分析:
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②连接PQ,设AP=x,求面积S△PCQ关于x的函数关系式;
(2)将图1中的△DEF向左平移(点A、D不重合),使边FD、FE分别交AC、BC于点M、N设AM=t,如图3.
①判断△BEN是什么三角形?并用含t的代数式表示边BE和BN;
②连接MN,求面积S△MCN关于t的函数关系式;
(3)在旋转△DEF的过程中,试探求AC上是否存在点P,使得S△PCQ等于平移所得S△MCN的最大值?说明你的理由.
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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