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(2006•平凉)如图,在⊙M中,manfen5.com 满分网所对的圆心角为120°,已知圆的半径为2cm,并建立如图所示的直角坐标系.
(1)求圆心M的坐标;
(2)求经过A,B,C三点的抛物线的解析式;
(3)点D是弦AB所对的优弧上一动点,求四边形ACBD的最大面积;
(4)在(2)中的抛物线上是否存在一点P,使△PAB和△ABC相似?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

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(1)连接AM,在直角△AMO中,根据三角函数就可以求出OM,就可以得到M的坐标. (2)根据三角函数就可以求出A,B的坐标,抛物线经过点A、B、C,因而M一定是抛物线的顶点.根据待定系数法就可以求出抛物线的解析式. (3)四边形ACBD的面积等于△ABC的面积+△ABP的面积,△ABC的面积一定,△ABP中底边AB一定,P到AB的距离最大是三角形的面积最大,即当P是圆与y轴的交点时面积最大. (4)△PAB和△ABC相似,根据相似三角形的对应边的比相等,就可以求出P点的坐标. 【解析】 (1)如图(1), 连接MA、MB, 则∠AMB=120°, ∴∠CMB=60°,∠OBM=30度.(2分) ∴OM=MB=1, ∴M(0,1).(3分) (2)由A,B,C三点的特殊性与对称性,知经过A,B,C三点的抛物线的解析式为y=ax2+c.(4分) ∵OC=MC-MO=1,OB=, ∴C(0,-1),B(,0).(5分) ∴c=-1,a=. ∴y=x2-1.(6分) (3)∵S四边形ACBD=S△ABC+S△ABD,又S△ABC与AB均为定值,(7分) ∴当△ABD边AB上的高最大时,S△ABD最大,此时点D为⊙M与y轴的交点,如图(1).(8分) ∴S四边形ACBD=S△ABC+S△ABD=AB•OC+AB•OD =AB•CD =4cm2.(9分) (4)方法1: 如图(2), ∵△ABC为等腰三角形,∠ABC=30°,, ∴△ABC∽△PAB等价于∠PAB=30°,PB=AB=2,PA=PB=6.(10分) 设P(x,y)且x>0,则x=PA•cos30°-AO=3-=2,y=PA•sin30°=3.(11分) 又∵P(2,3)的坐标满足y=x2-1, ∴在抛物线y=x2-1上,存在点P(2,3), 使△ABC∽△PAB. 由抛物线的对称性,知点(-2,3)也符合题意. ∴存在点P,它的坐标为(2,3)或(-2,3).(12分) 说明:只要求出(2,3),(-2,3),无最后一步不扣分.下面的方法相同. 方法2: 如图(3), 当△ABC∽△PAB时,∠PAB=∠BAC=30°,又由(1)知∠MAB=30°, ∴点P在直线AM上. 设直线AM的解析式为y=kx+b, 将A(-,0),M(0,1)代入, 解得, ∴直线AM的解析式为y=x+1.(10分) 解方程组, 得P(2,3).(11分) 又∵, ∴∠PBx=60度. ∴∠P=30°, ∴△ABC∽△PAB. ∴在抛物线y=x2-1上,存在点(2,3),使△ABC∽△PAB. 由抛物线的对称性,知点(-2,3)也符合题意. ∴存在点P,它的坐标为(2,3)或(-2,3).(12分) 方法3: 如图(3), ∵△ABC为等腰三角形,且, 设P(x,y),则△ABC∽△PAB等价于PB=AB=2,PA=AB=6.(10分) 当x>0时,得, 解得P(2,3).(11分) 又∵P(2,3)的坐标满足y=x2-1, ∴在抛物线y=x2-1上,存在点P(2,3),使△ABC∽△PAB. 由抛物线的对称性,知点(-2,3)也符合题意. ∴存在点P,它的坐标为(2,3)或(-2,3).(12分)
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考点分析:
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(2)在图案2中,如果铝合金材料总长度为6m,设AB为xm,长方形框架ABCD的面积为S=______(用含x的代数式表示);当AB=______m时,长方形框架ABCD的面积S最大;在图案3中,如果铝合金材料总长度为lm,设AB为xm,当AB=______m时,长方形框架ABCD的面积S最大.
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(1)求A、B两点的坐标;
(2)设△OMN的面积为S,直线l运动时间为t秒(0≤t≤6),试求S与t的函数表达式;
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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