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(2006•湖北)将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上,并使它的直角顶点P...

(2006•湖北)将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上,并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动,直角的一边始终经过点B,另一边与射线DC相交于点Q.设A、P两点间的距离为x.
(1)当点Q在边CD上时,请你测量线段PQ与线段PB的长度(至少两次),将你测量的实际结果填入下表,由此猜想线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系并证明你得到的结论;
  线段PQ的长度 线段PB的长度
 第一次  
 第二次  
(2)当点Q在边CD上时,设线段CQ的长度为y,求y与x之闾的函数解析式,并写出x的取值范围;
(3)当点Q在边DC的延长线上时,设线段CQ的长度为y,求y与x之间的函数解析式,并写出x的取值范围;
(4)当点P在线段AC上滑动时,△PCQ的面积s能否等于manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网?如果可能,求出相应的x值;如果不可能,试说明理由.(图①,②,③的形状大小相同,图①供操作、实验用,图②,③备用).
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(1)测量略.PB=PQ 可通过构建全等三角形来证PB=PQ,过点P作PF⊥BC于点F,PE⊥CD于点E,由于△PEC是等腰直角三角形,因此PE=EC,可得出四边形PECF是正方形,由此可得出PE=PF,根据同角的余角相等可得出∠FPB=∠QPE,这两个三角形中又有一组直角,因此构成了全等三角形判定条件中ASA的条件.根据全等三角形即可得出PB=PQ. (2)可先用x表示出PC,然后在直角三角形PFC中求出FC的长,即可求出BF的长,也就求出了CE,QE的长,然后根据CQ=CE-QE即可得出y,x的函数关系式. (3)当Q在CD延长线上时,CQ=EQ-EC,解法同(2). (4)由于△PCQ面积最大时,P与A重合,Q与D重合,此时面积为<,因此无论什么时候面积都不可能是. 当面积为时,可根据(2)(3)两种情况进行分类讨论,通过得出不同的函数关系式,进而根据函数的性质得出符合条件的x的值. 【解析】 (1)(说明:表略,两线段长度基本相等即可)经测量,得PB=PQ 证明:如图,过点P作PF⊥BC于点F,PE⊥CD于点E, ∵∠PCE=45°,∠PEQ=90°, ∴PE=EC. ∴四边形PFCE是正方形. ∴PE=PF. ∵∠BPF=∠QPE=90°-∠FPQ,∠BFP=∠PEQ=90°, ∴△BPF≌△QPE. ∴BP=PQ; (2)∵AP=x,CQ=y, ∵AB=BC=1, ∴AC=, ∵PFCE是正方形, ∴PC=-x, ∴CE=1-x, ∴BF=1-FC=1-(1-x), =x, ∴EQ=x, ∴y=CQ=(1-x)-x=1-x, ∴y=1-x(0≤x≤); (3)由(2)易证:当点Q在边DC的延长线上时, ∵PC=-x,利用勾股定理得出: ∴EC=1-x, EQ=BF=MP=x, CQ=EQ-EC=x-1 Y=x-1(≤x≤); (4)当点P在线段AC上滑动时,△PCQ的最大面积为 ∴△PCQ的面积不可能是 当0≤x≤时, S=- 解得x1=(舍去),x2= ∴此时x=10分 当时 S△PCQ=CQ•PE=-+ 解得x3=x4=. 综上所述,当P在线段AC上滑动时,△PCQ的面积不可能为,可能为. 此时x的值为和.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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