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(2006•哈尔滨)已知:二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,其中点A的坐标是(-1,0),与y轴负半轴交于点C,其对称轴是直线x=manfen5.com 满分网,tan∠BAC=2.
(1)求二次函数y=ax2+bx+c的解析式;
(2)作圆O’,使它经过点A、B、C,点E是AC延长线上一点,∠BCE的平分线CD交圆O’于点D,连接AD、BD,求△ACD的面积;
(3)在(2)的条件下,二次函数y=ax2+bx+c的图象上是否存在点P,使得∠PDB=∠CAD?如果存在,请求出所有符合条件的P点坐标;如果不存在,请说明理由.

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(1)因为二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,所以A、B一定关于对称轴x=对称,已知A的坐标,就可以求出B的坐标.Rt△OAC中根据三角函数就可以求出OA、OC的长,得到C点的坐标.利用待定系数法就可以求出抛物线的解析式. (2)A、B、C三点的坐标已知,可以证明△ABC是直角三角形,因而O′是AB的中点,则坐标可以求出.易证△ABD△AOF是等腰直角三角形,就可以求出CF的长,S△ACD=S△ACF+S△DCF,而△ACF中CF边上的高时A点的横坐标的绝对值,△CFD的CF边上的高是D点的横坐标的绝对值.D点的坐标容易求出,因而△ACD的面积就可以得到. (3)抛物线上存在点P,使得∠PDB=∠CAD.分两种情况讨论:①过点D作直线MN∥BC,交y轴于M.易证∠BDN=∠CAD, 直线MN与抛物线在D点右侧的交点即为点P.求出直线MN的解析式,解直线的解析式与抛物线的解析式组成的方程组就可以求出P的坐标;②过点D作∠O’DG=∠O’BC,交x轴于G点.根据同弧所对的圆周角相等,可以证得∠DO’G=∠COB,则直线DG与抛物线在D点右侧的交点即为P点.求出直线MN的解析式,解直线的解析式与抛物线的解析式组成的方程组就可以求出P的坐标; 【解析】 (1)∵A(-1,0)与点B关于直线x=对称, ∴点B坐标为(4,0) 在Rt△OAC中,tan∠BAC=, ∵AO=1 ∴OC=2, ∴C(0,-2)(1分) ∴(1分) 解得, ∴抛物线的解析式为:y=x2-x-2(1分) (2)∵A(-1,0),B(4,0),C(0,-2) ∴OA=1,OB=4,OC=2, ∴ 又∵∠AOC=∠COB=90°, ∴△AOC∽△COB, ∴∠BAC=∠BCO, ∴∠ACB=90°(1分) ∴AB为圆O’的直径,O’点坐标为(,0), ∴∠ADB=90° 又∵CD平分∠BCE, ∴∠BCD=∠ECD=45°, ∴∠DAB=45°,△ADB为等腰直角三角形. 连接O’D,则DO'=AB,DO’⊥AB, ∴,D点坐标为()(1分) 设AD与y轴交于点F, ∵∠DAB=45°, ∴OF=OA=1, ∴CF=1 作DH⊥y轴于点H, ∵D(), ∴DH=,OH= ∴S△ACD=S△ACF+S△DCF=×1×1+×1×=;(1分) (3)抛物线上存在点P,使得∠PDB=∠CAD.分两种情况讨论: ①过点D作直线MN∥BC,交y轴于M. ∵MN∥BC, ∴∠BDN=∠CBD,∠OCB=∠HMD 又∵∠CBD=∠CAD, ∴∠BDN=∠CAD,直线MN与抛物线在D点右侧的交点即为点P. ∵∠OCB=∠HMD,∠COB=∠MHD=90°, ∴△HDM∽△OCB, ∴ ∵ ∴. 设直线MD的解析式为y=mx+n 则有, 解得, 直线MD的解析式为(1分) ∴ 解得(舍) ∴(1分) ②过点D作∠O’DG=∠O’BC,交x轴于G点. ∵∠O’DB=∠O’BD=45°, ∴∠GDB=∠CBD=∠CAD 即直线DG与抛物线在D点右侧的交点即为P点 又∵∠DO’G=∠COB, ∴△DO'G∽△BOC ∴ ∴ ∴G 设直线DG的解析式为y=px+q 则有, 解得, ∴直线DG的解析式为(1分) ∴, 解得(舍) ∴ ∴符合条件的P点有两个:.(1分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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