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(2006•广东)已知四边形ABCD是矩形,BC>AB,直线MN分别与AB,BC...

(2006•广东)已知四边形ABCD是矩形,BC>AB,直线MN分别与AB,BC交于E,F两点,P为对角线AC上一动点(P不与A,C重合).
(1)当点E,F分别为AB,BC的中点时,(如图1)问点P在AC上运动时,点P,E,F能否构成直角三角形?若能,共有几个?请在图中画出所有满足条件的三角形.
(2)若AB=3,BC=4,P为AC的中点,当直线MN的移动时,始终保持MN∥AC,(如图2)求△PEF的面积S△PEF与FC的长x之间的函数关系式.
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(1)共有四个:①∠PEF=90°;②∠PFE=90°;③∠EPF=90°(两种),此种情况,可以EF为直径作圆,圆与AC的交点就是P点. (2)由于三角形PEF的面积无法直接求出,可用三角形ABC的面积减去三角形AEP、BEF、CFP三个小三角形的和来求. 三角形BEF的面积可用三角形ABC的面积和它们的相似比来求出. 由于P是AC中点,而MN∥AC,根据等底等高的三角形面积相等可得出三角形AEP和CPF的面积相等,因此只需求出三角形FCP的面积即可.三角形PCF中,CF的长已知了为x,CF边上的高可用PC的长和∠ACB的正弦值求出. 由此可得出三角形PEF的面积S与x的函数关系式. 【解析】 (1)能.以EF为直径作圆,圆与AC的交点就是P点,P点位置如图所示: ∴共有4个:①∠PEF=90°;②∠PFE=90°;③∠EPF=90°(两种); (2)在矩形ABCD中 ∵AB=3,BC=4, ∴AC=5. ∵S△ABC=•BC•AB, ∴S△ABC=6. ∵FC=x, ∴BF=4-x. 在△ABC中 ∵EF∥AC, ∴△BEF∽△BAC. ∴. ∴. ∴S△BEF=6×=(x-4)2. ∵PA=PC,EF∥AC, ∴S△AEP=S△CPF=FC•CP•sin∠ACB. ∵sin∠ACB=, ∴S△AEP=×x×=x. ∴S△PEF=S△ABC-(S△BEF+S△AEP+S△CFP) =6-[(x-4)2+x+x] =-x2+x(0<x<4).
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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