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(2006•佛山)已知:在四边形ABCD中,AB=1,E、F、G、H分别时AB、...

(2006•佛山)已知:在四边形ABCD中,AB=1,E、F、G、H分别时AB、BC、CD、DA上的点,且AE=BF=CG=DH.设四边形EFGH的面积为S,AE=x(0≤x≤1).
(1)如图①,当四边形ABCD为正方形时,
①求S关于x的函数解析式,并求S的最小值S
②在图②中画出①中函数的草图,并估计S=0.6时x的近似值(精确到0.01);
(2)如图③,当四边形ABCD为菱形,且∠A=30°时,四边形EFGH的面积是否存在最小值?若存在,求出最小值;若不存在,请说明理由.
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(1)①四边形ABCD为正方形,易得四边形EFGH为正方形,那么面积S=HE2,可求得二次函数的最值;②看二次函数上y=0.6时对应的x的值即可. (2)易得△AEH≌△CGF,△EBF≌△GDH.那么四边形EFGH的面积=菱形ABCD的面积-2(S△AHE+S△EBF)利用30°的三角函数值求得两三角形边上的高即可求解. 【解析】 (1)①在Rt△AEH中,AE=x,AH=1-x, 则S=HE2=x2+(1-x)2 =2x2-2x+1=2(x-)2+ ∴当x=时,S= ②列表:  x  0  0.3 0.5  0.7  1   y    0.58  0.5  0.58  0 在直角坐标系中描点、画图(图2中粗线). (注:作图时,不列对应值表不扣分) 观察函数的图象,可知当S=0.6时,x≈0.27和x≈0.73. 验证:当x=0.27时,S=0.6029;当x=0.28时,S=0.5984. 从而取x≈0.28.同理取x≈0.72. (2)四边形EFGH的面积存在最小值. 理由如下: 由条件,易证△AEH≌△CGF,△EBF≌△GDH 作HM⊥AE于M,作FN⊥EB且FN交EB的延长线于N ∵AE=x,则AH=1-x 又在Rt△AMH中,∠HAM=30° ∴HM=AH=(1-x) 同理得FN=BF=x ∴S△AEH=AE•HM=x(1-x),S△EBF=EB•FN=x(1-x) 又∵SABCD= ∴S=-4×x(1-x)=x2-x+=(x-)2+ ∴当x=时,四边形EFGH的面积存在最小值.
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考点分析:
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现有△ABM,A(-1,0),B(1,0).记过三点的二次函数抛物线为“C□□□”(“□□□”中填写相应三个点的字母)
(1)若已知M(0,1),△ABM≌△ABN(0,-1).请通过计算判断CABM与CABN是否为全等抛物线;
(2)在图2中,以A、B、M三点为顶点,画出平行四边形.
①若已知M(0,n),求抛物线CABM的解析式,并直接写出所有过平行四边形中三个顶点且能与CABM全等的抛物线解析式.
②若已知M(m,n),当m,n满足什么条件时,存在抛物线CABM根据以上的探究结果,判断是否存在过平行四边形中三个顶点且能与CABM全等的抛物线?若存在,请列出所有满足条件的抛物线“C□□□”;若不存在,请说明理由.
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(1)求抛物线的解析式;
(2)如果点P由点A开始沿AB边以2cm/s的速度向点B移动,同时点Q由点B开始沿BC边以1cm/s的速度向点C移动.
①移动开始后第t秒时,设S=PQ2(cm2),试写出S与t之间的函数关系式,并写出t的取值范围;
②当S取得最小值时,在抛物线上是否存在点R,使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出R点的坐标;如果不存在,请说明理由.

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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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