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(2006•长沙)如图1,已知直线y=-x与抛物线y=-x2+6交于A,B两点....

(2006•长沙)如图1,已知直线y=-manfen5.com 满分网x与抛物线y=-manfen5.com 满分网x2+6交于A,B两点.
(1)求A,B两点的坐标;
(2)求线段AB的垂直平分线的解析式;
(3)如图2,取与线段AB等长的一根橡皮筋,端点分别固定在A,B两处.用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动,动点P将与A,B构成无数个三角形,这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形?如果存在,求出最大面积,并指出此时P点的坐标;如果不存在,请简要说明理由.
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(1)联立两函数的解析式即可求出A、B点的坐标. (2)可作AB的垂直平分线设其与x轴,y轴的交点分别为C、D,与AB的交点为M,可根据△BEO∽△OCM求出OC的长,同理可求出OD的长,即可得出C、D的坐标,用待定系数法即可求出AB垂直平分线的解析式.(另一种解法,可根据A、B的坐标得出AB中点的坐标,先求出直线AB的解析式,由于AB的垂直平分线与AB垂直,因此它的斜率与AB的斜率的乘积为-1,由此可得出所求直线的斜率,然后将中点坐标代入即可求出其解析式.) (3)要使三角形ABP的面积最大,那么P到AB的距离就最大,因此P点必在与直线AB平行且与抛物线只有一个交点的一次函数上(设此直线与x轴,y轴的交点为G、H),据此可求出此直线的解析式和P点的坐标.然后可通过在三角形OHG中,根据面积的不同表示方法求出P点到AB的距离(即O到GH的距离),进而可求出三角形ABP的面积. 【解析】 (1)依题意得 解之得 ∴A(6,-3),B(-4,2) (2)作AB的垂直平分线交x轴,y轴于C,D两点,交AB于M(如图1), 由(1)可知:OA=3,OB=2 ∴AB=5 AB-OB= 过B作BE⊥x轴,E为垂足 由△BEO∽△OCM,得:, ∴ 同理:OD=, ∴C(,0),D(0,-) 设CD的解析式为y=kx+b(k≠0) ∴ ∴ ∴AB的垂直平分线的解析式为:y=2x-. (3)若存在点P使△APB的面积最大,则点P在与直线AB平行且和抛物线只有一个交点的直线 y=-x+m上,并设该直线与x轴,y轴交于G,H两点(如图2). ∴ ∴x2-x+m-6=0 ∵抛物线与直线只有一个交点, ∴△=(-)2-4×(m-6)=0, ∴m=, 故x2-x+=0,即(x-1)2=0, 解得:x=1, 将x=1代入y=-+得:y=, ∴P(1,) 在直线GH:y=-x+中, ∴G(,0),H(0,) ∴GH= 设O到GH的距离为d, ∵GH•d=OG•OH ∵×d=×× ∴d=, 又∵由AB∥GH ∴P到AB的距离等于O到GH的距离d. ∴S最大面积=AB•d=×5.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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