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(2006•滨州)已知:抛物线M:y=x2+(m-1)x+(m-2)与x轴相交于...

(2006•滨州)已知:抛物线M:y=x2+(m-1)x+(m-2)与x轴相交于A(x1,0),B(x2,0)两点,且x1<x2
(Ⅰ)若x1x2<0,且m为正整数,求抛物线M的解析式;
(Ⅱ)若x1<1,x2>1,求m的取值范围;
(Ⅲ)试判断是否存在m,使经过点A和点B的圆与y轴相切于点C(0,2)?若存在,求出M:y=x2+(m-1)x+(m-2)的值;若不存在,试说明理由;
(Ⅳ)若直线l:y=kx+b过点F(0,7),与(Ⅰ)中的抛物线M相交于P,Q两点,且使manfen5.com 满分网,求直线l的解析式.
(1)本题有多种解法.首先由题意可得x1x2=m-2<0,可求出m值,然后根据题意求出解析式即可. (2)已知题意x1<1,x2>1推出(x1-1)(x2-1)<0,然后可知x1+x2=-(m-1),x1x2=m-2,代入等式可解. (3)存在.根据题意因为过A,B两点的圆与y轴相切于点C(0,2),所以A,B两点在y轴的同侧,故x1x2>0, 再根据圆的切割线定理得知OC2=OA•OB. (4)首先分别假设P.Q的坐标为(x1,y1),(x2,y2).由平行线定理求出x2与x1的等量关系.再证明△FP2P∽△FQ2Q,求出x1的值,根据实际情况取值. 【解析】 (1)解法一:由题意得,x1x2=m-2<0.(1分) 解得,m<2. ∵m为正整数, ∴m=1. ∴y=x2-1.(2分) 解法二:由题意知,当x=0时,y=02+(m-1)×0+(m-2)<0.(1分) (以下同解法一) 解法三:∵△=(m-1)2-4(m-2)=(m-3)2, ∴x=, ∴x1=-1,x2=2-m. 又∵x1x2<0, ∴x2=2-m>0.(1分) ∴m<2. (以下同解法一.) 解法四:令y=0,即x2+(m-1)x+(m-2)=0, ∴(x+1)(x+m-2)=0 ∴x1=-1,x2=2-m. (以下同解法三.) (2)解法一:∵x1<1,x2>1, ∴x1-1<0,x2-1>0. ∴(x1-1)(x2-1)<0, 即x1x2-(x1+x2)+1<0.(3分) ∵x1+x2=-(m-1),x1x2=m-2, ∴(m-2)+(m-1)+1<0.(4分) 解得m<1. ∴m的取值范围是m<1.(5分) 解法二:由题意知,当x=1时, y=1+(m-1)+(m-2)<0.(4分) 解得:m<1. ∴m的取值范围是m<1.(5分) 解法三:由(Ⅰ)的解法三、四知,x1=-1,x2=2-m. ∵x1<1,x2>1, ∴2-m>1,(4分) ∴m<1. ∴m的取值范围是m<1.(5分) (3)存在. 解法一:因为过A,B两点的圆与y轴相切于点C(0,2), 所以A,B两点在y轴的同侧, ∴x1x2>0.(6分) 由切割线定理知,OC2=OA•OB,(7分) 即22=|x1||x2|. ∴|x1x2|=4 ∴x1x2=4. ∴m-2=4. ∴m=6.(8分) 解法二:连接O'B,O'C. 圆心所在直线,(6分) 设直线与x轴交于点D,圆心为O', 则O'D=OC=2,O'C=OD=. ∵AB=|x2-x1|==|m-3|,BD=, ∴.(7分) 在Rt△O′DB中, O'D2+DB2=O'B2. 即. 解得m=6.(8分) (4)设P(x1,y1),Q(x2,y2), 则y1=x12-1,y2=x22-1. 过P,Q分别向x轴引垂线,垂足分别为P1(x1,0),Q(x2,0). 则PP1∥FO∥QQ1. 所以由平行线分线段成比例定理知,. 因此,,即x2=-2x1.(9分) 过P,Q分别向y轴引垂线,垂足分别为P2(0,y1),Q2(0,y2), 则PP2∥QQ2.所以△FP2P∽△FQ2Q. ∴. ∴. ∴21-2y1=y2.(10分) ∴21-2(x12-1)=x22-1 ∴23-2x12=4x12-1 ∴x12=4, ∴x1=2,或x1=-2.(11分) 当x1=2时,点P(2,3). ∵直线l过P(2,3),F(0,7), ∴, 解得 当x1=-2时,点P(-2,3). ∵直线l过P(-2,3),F(0,7), ∴, 解得 故所求直线l的解析式为:y=2x+7,或y=-2x+7.(12分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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