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(2006•巴中)已知:⊙P是边长为6的等边△ABC的外接圆,以过点A的直径所在...

(2006•巴中)已知:⊙P是边长为6的等边△ABC的外接圆,以过点A的直径所在直线为x轴,以BC所在直线为y轴建立平面直角坐标系,x轴与⊙P交于点D.
(1)求A,B,D三点坐标.
(2)求过A,B,D三点的抛物线的解析式.
(3)⊙P的切线交x轴正半轴于点M,交y轴正半轴于点N,切点为点E,且∠NMO=30°,试判断直线MN是否过抛物线的顶点?并说明理由.

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(1)根据正三角形ABC的边长为6,可得出B,C的坐标分别为(0,3),(0,-3).可在直角三角形ABO中,根据AB的长和∠ABO的度数利用三角函数求出OA的长,即可得出A点的坐标,然后用同样的方法可求出OD的长,即可得出D点的坐标. (2)由于抛物线过A,D两点,可用交点式二次函数通式设抛物线的解析式,然后将B点坐标代入抛物线中即可得出抛物线的解析式. (3)本题的关键是求出直线MN的解析式,首先要知道直线MN上任意两点的坐标.可连接PE,可在直角三角形PEM中,根据∠NMO的度数和半径的长求出PM的值,同理可在直角三角形OMN中求出ON的长,由此可求出M、N两点的坐标,用待定系数法先求出直线MN的解析式,然后将抛物线的顶点坐标代入直线MN中即可判断出直线MN是否过抛物线的顶点. 【解析】 (1)在直角三角形ABO中,AB=6,∠ABO=60°, 因此OB=3,OA=3. 在直角三角形OBD中,∠DBC=∠DAC=30°,OB=3, 因此OD=. 因此A点的坐标为(3,0),B点的坐标为(0,3),D点的坐标为(-,0). (2)设抛物线的解析式为y=a(x+)(x-3), 由于抛物线过B点, 则有:3=a××(-3),a=-. ∴抛物线的解析式为y=-x2+x+3=-(x-)2+4. (3)连接PE,过E作EF⊥x轴于F,则PE⊥MN. 在直角△PEM中,∠NMO=30°,PE=2, ∴PM=4 ∴OM=OP+PM=5, 在直角△OMN中,∠NMO=30°,OM=5 ∴ON=5 因此M的坐标为(5,0),N点的坐标为(0,5). 设直线MN的解析式为y=kx+5. 则有:5k+5=0,k=- 即直线MN的解析式为y=-x+5. 易知抛物线的顶点坐标为(,4) 当x=时,直线MN的值为y=-3+5=2, 因此抛物线顶点不在直线MN上.
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考点分析:
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(1)求直线BC的解析式;
(2)求抛物线的解析式;
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(1)求此抛物线的解析式;
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(2)求manfen5.com 满分网的值;
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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