Question

将抛物线沿c₁：y=-x²+沿x轴翻折，得拋物线c₂，如图所示．
（1）请直接写出拋物线c₂的表达式．
（2）现将拋物线C₁向左平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A，B；将抛物线C₂向右也平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N，与x轴交点从左到右依次为D，E．
①当B，D是线段AE的三等分点时，求m的值；
②在平移过程中，是否存在以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据翻折的性质可求拋物线c2的表达式；
（2）①求出拋物线c1与x轴的两个交点坐标，分当AD=AE时，当BD=AE时两种情况讨论求解；
②存在．理由：连接AN，NE，EM，MA．根据矩形的判定即可得出．
【解析】
（1）y=x2-．

（2）①令-x2+=0，得x1=-1，x2=1
则拋物线c1与x轴的两个交点坐标为（-1，0），（1，0）．
∴A（-1-m，0），B（1-m，0）．
同理可得：D（-1+m，0），E（1+m，0）．
当AD=AE时，
（-1+m）-（-1-m）=[（1+m）-（-1-m）]，
∴m=．
当BD=AE时，
（1-m）-（-1+m）=[（1+m）-（-1-m）]，∴m=2．
故当B，D是线段AE的三等分点时，m=或2．
②存在．
理由：连接AN，NE，EM，MA．依题意可得：M（-m，），N（m，-）．
即M，N关于原点O对称，∴OM=ON．
∵A（-1-m，0），E（1+m，0），∴A，E关于原点O对称，∴OA=OE
∴四边形ANEM为平行四边形．
∵AM2=（-m+1+m）2+（）2=4，
ME2=（1+m+m）2+（）2=4m2+4m+4，
AE2=（1+m+1+m）2=4m2+8m+4，
若AM2+ME2=AE2，则4+4m2+4m+4=4m2+8m+4，∴m=1，
此时△AME是直角三角形，且∠AME=90°．
∴当m=1时，以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形．