Question

如图，矩形ABCD中，AB=6m，AD=4m．
（1）如图（1），矩形AEFN的顶点E，N分别在边AB和AD上，点F在矩形ABCD的内部，以点A为位似中心，作矩形AEFN的位似矩形AMPQ，且使得矩形的顶点P恰好落在对角线BD上；（不要求写作法）
（2）若AM=4m，求矩形AMPQ的面积；
（3）如图（2），在一个矩形空地ABCD上，王师傅准备修建一个矩形的花坛AMPQ，要求点M在AB上，点Q在AD上，设AM的长为xm，矩形AMPQ的面积为Sm²，求当x为何值时，S有最大值？并求出最大值．

Answer

（1）根据位似图形的定义，连接AF并延长与BD相交于P，过P作PM∥AD交AB于M，作PQ∥AB交AD于Q，四边形AMPQ即为矩形AEFN的位似图形；
（2）先求出MB，然后根据△ABD和△MBP相似，利用相似三角形对应边成比例列出比例式求出PM，再根据矩形的面积公式列式计算即可得解；
（3）用x表示出MB=6-x，然后根据△ABD和△MBP相似，再利用相似三角形对应边成比例列出比例式求出PM，再根据矩形的面积公式列式整理，然后根据二次函数的最值问题解答．
【解析】
（1）矩形AEFN的位似矩形AMPQ如图所示；

（2）∵AB=6m，AM=4m，
∴MB=AB-AM=6-4=2m，
∵PM∥AD，
∴△ABD∽△MBP，
∴=，
即=，
解得PM=m，
∴矩形AMPQ的面积=AM•PM=4×=m2；

（3）AM=xm时，MB=AB-AM=6-x，
∵PM∥AD，
∴△ABD∽△MBP，
∴=，
即=，
解得PM=（6-x），
∴矩形AMPQ的面积为S=AM•PM=x•（6-x）=-（x2-6x+9）+6=-（x-3）2+6，
即S=-（x-3）2+6，
所以，当x=3m时，S有最大值为6m2．