Question

用长度一定的不锈钢材料设计成外观为矩形的框架（如图①②③中的一种）（题中的不锈钢材料总长度均指各图中所有黑线的长度和，所有横档和竖档分别与AD、AB平行，材料本身面积忽略不计），设竖档AB=x米，请根据以上图案回答下列问题：

（Ⅰ）在图①中，不锈钢材料总长度为12米，则AD表达式为______，若矩形框架ABCD的面积为3平方米，则可列方程为______．
（Ⅱ）在图②中，不锈钢材料总长度为12米，则AD表达式为______，若矩形框架ABCD的面积为S，请写出S与x的函数关系式______．
（Ⅲ）在图③中，如果不锈钢材料总长度为a米，共有n条竖档，写出矩形框架ABCD的面积S与x的函数关系式______；当x为______时，S有最大面积等于______．

Answer

（I）由题意可得3AD+3AB=12，从而可得出AD的表达式；根据矩形的面积=长×宽，可得出方程；
（II）由题意可得3AD+4AB=12，从而可得出AD的表达式；根据矩形的面积=长×宽，可得出S与x的函数关系式；
（III）由题意可得3AD+nAB=a，从而可得出AD的表达式，根据矩形的面积=长×宽，可得出S与x的函数关系式，利用配方法可求出S的最大值．
【解析】
（I）AD==4-x，则若矩形框架ABCD的面积为3平方米，则可列方程为：x（4-x）=3；

（II）AD==4-x，
S=x×（4-x）=4x-x2；

（III）AD=，
S=AD×AB=x=-x2+x=-（x-）2+，
当x=时，S有最大值，最大面积为．
故答案为：4-x、x（4-x）=3；4-x、S=4x-x2；x、、．