Question

如图，在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB=DC，AD=2，BC=4，延长BC到E，使CE=AD．
（1）写出图中所有与△DCE全等的三角形，并选择其中一对说明全等的理由；
（2）探究当等腰梯形ABCD的高DF是多少时，对角线AC与BD互相垂直？请回答并说明理由．

Answer

（1）与△DCE全等的三角形有：△CDA≌△DCE，△BAD≌△DCE，可以用全等三角形的判定方法来进行验证．
（2）需要根据已知条件及等腰梯形的性质，平行四边形的性质得出BF=FE=3，因为DF=3，则∠BDF=∠DBF=45°，∠EDF=∠DEF=45°，从而推出∠BDE=∠BDF+∠EDF=90°，根据平行的性质得出∠BGC=∠BDE=90°，即AC⊥BD．
【解析】
（1）△CDA≌△DCE，△BAD≌△DCE；（2分）
①△CDA≌△DCE的理由是：
∵AD∥BC，
∴∠CDA=∠DCE．（3分）
又∵DA=CE，CD=DC，（4分）
∴△CDA≌△DCE．（5分）
②△BAD≌△DCE的理由是：
∵AD∥BC，
∴∠CDA=∠DCE．（3分）
又∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴∠BAD=∠CDA，
∴∠BAD=∠DCE．（4分）
又∵AB=CD，AD=CE，
∴△BAD≌△DCE．（5分）

（2）当等腰梯形ABCD的高DF=3时，对角线AC与BD互相垂直．（6分）
理由是：设AC与BD的交点为点G，∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AC=DB．
又∵AD=CE，AD∥BC，
∴四边形ACED是平行四边形，（7分）
∴AC=DE，AC∥DE．
∴DB=DE．（8分）
则BF=FE，
又∵BE=BC+CE=BC+AD=4+2=6，
∴BF=FE=3． （9分）
∵DF=3，
∴∠BDF=∠DBF=45°，∠EDF=∠DEF=45°，
∴∠BDE=∠BDF+∠EDF=90°，
又∵AC∥DE
∴∠BGC=∠BDE=90°，即AC⊥BD．（10分）
（说明：由DF=BF=FE得∠BDE=90°，同样给满分．）