Question

如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，连接AD，在AD的延长线上取一点E，连接BE，CE．
（1）求证：△ABE≌△ACE；
（2）当AE与AD满足什么数量关系时，四边形ABEC是菱形？并说明理由．

Answer

由题意可知三角形三线合一，结合SAS可得△ABE≌△ACE．四边形ABEC相邻两边AB=AC，只需要证明四边形ABEC是平行四边形的条件，当AE=2AD（或AD=DE或DE=AE）时，根据对角线互相平分，可得四边形是平行四边形．
（1）证明：∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
又∵点D为BC的中点，
∴∠BAE=∠CAE（三线合一），
在△ABE和△ACE中，
∵，
∴△ABE≌△ACE（SAS）．

（2）【解析】
当AE=2AD（或AD=DE或DE=AE）时，四边形ABEC是菱形
理由如下：
∵AE=2AD，∴AD=DE，
又∵点D为BC中点，
∴BD=CD，
∴四边形ABEC为平行四边形，
∵AB=AC，
∴四边形ABEC为菱形．