Question

如图1，抛物线y=ax²-2ax-b（a＜0）与x轴的一个交点为B（-1，0），与y轴的正半轴交于点C，顶点为D．
（1）求顶点D的坐标（用含a的代数式表示）；
（2）若以AD为直径的圆经过点C．
①求抛物线的解析式；
②如图2，点E是y轴负半轴上的一点，连接BE，将△OBE绕平面内某一点旋转180°，得到△PMN（点P、M、N分别和点O、B、E对应），并且点M、N都在抛物线上，作MF⊥x轴于点F，若线段MF：BF=1：2，求点M、N的坐标；
③如图3，点Q在抛物线的对称轴上，以Q为圆心的圆过A、B两点，并且和直线CD相切，求点Q的坐标．

Answer

（1）将B点坐标代入抛物线的解析式中，可得到a、b的关系式，将a替换b后，将抛物线的解析式化为顶点坐标式，即可得到顶点D的坐标．
（2）①根据（1）题所得抛物线解析式，可用得到C、A的坐标，若以AD为直径的圆经过点C，由圆周角定理可知∠ACD=90°，分别用a表示出AC、AD、CD的长，根据勾股定理可得到关于a的方程，即可求出a的值，进而确定该抛物线的解析式．
②根据①题抛物线的解析式，可求得点B的坐标，先设出点M的坐标，可用其横坐标表示出BF的长，已知BF=2MF，即可得到M点纵坐标的表达式，将其代入抛物线的解析式中，即可得到点M的坐标；根据中心对称图形的性质知MP=BO，由此可求得点P（即点N）的横坐标，将其代入抛物线的解析式中，即可得到点N的坐标．
③若⊙Q与直线CD相切（设切点为K），那么QK=QB=QA，可设出点Q的坐标（横坐标已知，只设纵坐标即可），可表示出QB、QK、DQ的长；设直线DC与x轴的交点为G，易求得直线DC的解析式，进而可得到点G的坐标，由此可求得HG、DG的长（H为抛物线对称轴与x轴交点），由于直线CD切⊙Q于点K，易证得△DQK∽△DGH，根据抛物线所得比例线段，即可得到关于点Q纵坐标的方程，通过解方程可确定点Q的坐标．
【解析】
（1）把B（-1，0）代入得：b=3a，（1分）
y=ax2-2ax-3a=a（x-1）2-4a，
所以顶点D（1，-4a）．（2分）

（2）①有题设知：点C（0，-3a），点A（3，0），
且∠ACD=90°；（3分）
在Rt△AOC中，AC2=9a2+32，
在Rt△AHD中，AD2=16a2+22，
在Rt△CMD中，CD2=a2+12，
因为AD2=AC2+CD2，
所以16a2+22=a2+12+9a2+32，a2=1，又a＜0，
所以a=-1，（4分）
抛物线的解析式为y=-x2+2x+3．
②设点M（m，y1）
则BF=m+1，
点MF：BF=1：2，
∴MF=，即y1=（5分）
点M（m，y1）在抛物线上，
所以=-m2+2m+3，
解得：m=或m=-1（舍去），
点M的坐标为M（，）；（6分）
又因为MP∥BO，MP=BO，
所以点的坐标为P（，），
由得点N的坐标为N（，）．（7分）
③设点Q（1，y）
因为D（1，4），C（0，3）
直线CD的方程为y=x+3，（8分）
令y=0，得G（-3，0），
设直线CD与⊙O的切点为K，连接QK；
则△DQK∽△DGH，=，（9分）
又QK=QB=，DQ=4-y，
所以=，
整理得：y2+8y-8=0，
解得y=-4±2；
所以点Q的坐标为（1，-4+2）或（1，-4-2）．（10分）
说明：由∠QDK=45°，直接得出QD=QK，从而得4-y=再求解，同样给分．