Question

如图，对称轴为直线x=的抛物线经过点A（-6，0）和点B（0，4）．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）设点E（x，y）是抛物线上的一个动点，且位于第三象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求▱OEAF的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
①当▱OEAF的面积为24时，请判断▱OEAF是否为菱形？
②是否存在点E，使▱OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．•

Answer

（1）根据对称轴设抛物线的解析式为y=a（x+）2+k，将A、B两点坐标代入，列方程组求a、k的值；
（2）根据平行四边形的性质可知S=2S△OAE，△OAE的底为AO，高为E点纵坐标的绝对值，由此列出函数关系式，①当S=24时，由函数关系式得出方程，求x的值，再逐一判断；②不存在，只有当0E⊥AE且OE=AE时，□OEAF是正方形，由此求出E点坐标，判断E点坐标是否在抛物线上．
【解析】
（1）设抛物线的解析式为y=a（x+）2+k（k≠0），
则依题意得：a+k=0，a+k=4
解之得：a=，
k=-
即：y=（x+）2-，顶点坐标为（-，-）；

（2）∵点E（x，y）在抛物线上，且位于第三象限．
∴S=2S△OAE=2××0A×（-y）
=-6y
=-4（x+）2+25  （-6＜x＜-1）；
①当S=24时，即-4（x+）2+25=24，
解之得：x1=-3，x2=-4
∴点E为（-3，-4）或（-4，-4）
当点E为（-3，-4）时，满足OE=AE，故□OEAF是菱形；
当点E为（-4，-4）时，不满足OE=AE，故□OEAF不是菱形．
②不存在．
当0E⊥AE且OE=AE时，□OEAF是正方形，此时点E的坐标为（-3，-3），
而点E不在抛物线上，故不存在点E，使□OEAF为正方形．