Question

当x取何值时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-2007|取得最小值，最小值是多少？

Answer

此题可以用数形结合来解题：x为数轴上的一点，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…|x-2007|表示：点x到数轴上的2007个点（1、2、3、…、2007）的距离之和，进而分析得出最小值为：|1004-1|+|1004-2|+|1004-3|+…|1004-2007|求出即可．
【解析】
在数轴上，要使点x到两定点的距离和最小，
则x在两点之间，最小值为两定点为端点的线段长度（否则距离和大于该线段）；
所以：
当 1≤x≤2007时，|x-1|+|x-2007|有最小值 2006；
当 2≤x≤2006时，|x-2|+|x-2006|有最小值 2004；
…
当 x=1004时，|x-1004|有最小值 0．
综上，当 x=1004时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…|x-2007|能够取到最小值，
最小值为：|1004-1|+|1004-2|+|1004-3|+…|1004-2007|
=1003+1002+1001+…+0+1+2+1003
=1004×1003
=1007012．