Question

（1）若关于x的不等式|x-1|+|x-2|＜a无解，求a的取值范围．
（2）若关于x的不等式|x-1|+|x-2|≥a恒成立，求a的取值范围．
（3）a取怎样的值时，|x-1|-|x+2|＜2a+3对一切实数x恒成立．
（4）a取何值时，|x+1|-|x+2|＞3-a无解．
（5）若|x-a|＜|x|+|x+1|恒成立，求a的取值范围．

Answer

（1）根据|x-1|+|x-2|的几何意义可得其最小值等于1，可得当a≤1时，|x-1|+|x-2|＜a无实数解；
（2）根据|x-1|+|x-2|的几何意义可得其最小值等于1，据此即可求解；
（3））|x-1|-|x+2|表示数轴上到1的距离与到-2的距离的差，最小值是3，若，|x-1|-|x+2|＜2a+3对一切实数x恒成立，则一定有2a+3＞3，即可求解；
（4））|x+1|-|x+2|表示数轴上到-1的距离与到-2的距离的差，最大值是1，|x+1|-|x+2|＞3-a无解，则有3-a＜1，据此即可求解；
（5）|x|+|x+1|表示数轴上到原点的距离与到-1的距离的和，最小值是1，则|x-a|＜1，去掉绝对值符号即可求解．
【解析】
（1）根据|x-1|+|x-2|的几何意义可得其最小值等于1，可得当a≤1时，|x-3|+|x-2|＜a无实数解，
故当a≤1时，关于x的不等式|x-3|+|x-2|＜a无实数解；
（2）根据|x-1|+|x-2|的几何意义可得其最小值等于1，则a≤1；
（3）|x-1|-|x+2|表示数轴上到1的距离与到-2的距离的差，最大值是3，
根据题意的：，3＜2a+3，解得：a＞0；
（4）|x+1|-|x+2|表示数轴上到-1的距离与到-2的距离的差，最大值是1，
则1＞3-a，
解得：a＜2；
（5）|x|+|x+1|表示数轴上到原点的距离与到-1的距离的和，最小值是1，则|x-a|＜1，
即-1＜x-a＜1，
解得：a-1＜x＜a+1．