Question

三台生产同一种产品的机器M₁、M₂、M₃在x轴上的位置如图所示．M₁、M₂、M₃生产该产品的效率之比为2：1：3，它们生产的产品都需要沿着x轴运送到检验台检验，而移动所需费用与移动的距离成正比．问检验台应该设在x轴上的何处，才能使移动产品所花费的费用最省？

Answer

设检验台应该设在x轴上的P处，P点表示的数为x，根据数轴上两点之间的距离的表示方法得到移动的距离总和S=1×|x+2|+2×|x-1|+3×|x-3|，然后分类讨论：当x≤-2时或当-2＜x＜1时或当1≤x≤3时或当x＞3时，分别去绝对值得到各范围内S的最小值，然后确定P点的位置．
【解析】
设检验台应该设在x轴上的P处，P点表示的数为x，
根据题意得到移动的距离总和S=1×|x+2|+2×|x-1|+3×|x-3|
=|x+2|+2|x-1|+3|x-3|，
当x≤-2时，S=-x-2-2x+2-3x+9=-6x+9，此时x=-2时，S的值最小为21；
当-2＜x＜1时，S=x+2-2x+2-3x+9=-4x+13，S没有值最小值；
当1≤x≤3时，S=x+2+2x-2-3x+9=9，此时S的值不变，等于9；
当x＞3时，S=x+2+2x-2+3x-9=6x-9，此时S没有最小值．
因为移动所需费用与移动的距离成正比，而1≤x≤3时，移动的距离总和最小，
所以检验台应该设在x轴上的M1与M3之间（包括M1与M2），才能使移动产品所花费的费用最省．