Question

已知二次函数的图象如图所示，
（1）求二次函数的解析式及顶点M的坐标；
（2）若点N为线段BM上的一点，过点N作NQ⊥X轴于点Q，当点N在BM上运动时（点N不与点B、点M重合），设NQ的长为t，四边形NQAC的面积______为S，求S与t之间的函数关系式及自变量的取值范围；
（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使△PAC为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据A与B的横坐标，设出抛物线的二根式方程，将C坐标代入求出a的值，确定出抛物线解析式，将解析式化为顶点坐标式，即可求出抛物线顶点M的坐标．
（2）根据抛物线的解析式可求出A、B、C三点的坐标，进而可求出直线BM的解析式，已知了QN=t，即N点纵坐标为-t，代入直线BM的解析式中，可求得Q点的横坐标即OQ得长，分别求出△OAC、梯形QNCO的面积，它们的面积和即为所求的四边形QNCO的面积，由此可求出S、t的函数关系式．
（3）根据函数的图象及A、C的位置，可明显的看出∠APC不可能是直角，因此此题要分两种情况讨论：
①∠PAC=90°，设出点P的坐标，然后表示出AC2、PA2、PC2的值，根据勾股定理可得到关于P点横、纵坐标的等量关系式，联立抛物线的解析式，即可求出此时点P的坐标；
②∠PCA=90°，解法同①．
【解析】
（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-2），
将x=0，y=-2代入得：a=1，
∴抛物线y=x2-x-2=（x-）2-，
∴顶点M的坐标为（，-）；

（2）抛物线与y=x2-x-2与x轴的两交点为A（-1，0），B（2，0），
设线段BM所在直线的解析式为y=kx+b，
则，
解得；
故线段BM所在直线的解析式为y=x-3，
设点N的坐标为（x，-t），
∵点N在线段BM上，
∴-t=x-3，
∴x=-t+2，
∴S四边形NQAC=S△AOC+S梯形OQNC=×1×2+×（2+t）×（-t+2）=-t2+t+3，
∴S与t之间的函数关系式为S=-t2+t+3，自变量t的取值范围为0＜t＜；

（3）假设存在符合条件的点P，设点P的坐标为P（m，n），则m＞且n=m2-m-2；
PA2=（m+1）2+n2，PC2=m2+（n+2）2，AC2=5，
分以下几种情况讨论：
①若∠PAC=90°，则PC2=PA2+AC2．
∴，
解得：m1=，m2=-1；
∵m＞，∴m=，
∴P1（，）；
②若∠PCA=90°，则PA2=PC2+AC2，
则，
解得：m3=，m4=0，
∵m＞，
∴m=，
∴P2（，-），
当点P在对称轴右侧时，PA＞AC，
∴边AC的对角∠APC不可能是直角，
∴存在符合条件的点P，坐标分别为P1（，）；P2（，-）．