Question

如图，矩形ABCD在平面直角坐标系xOy中，BC边在x轴上，点A（-1，2），点C（3，0）．动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿AD向点D运动，到达点D后停止．把BP的中点M绕点P逆时针旋转90°到点N，连接PN，DN．设P的运动时间为t秒．
（1）经过1秒后，求出点N的坐标；
（2）当t为何值时，△PND的面积最大？并求出这个最大值；
（3）求在整个过程中，点N运动的路程是多少？

Answer

（1）首先证明△BAP∽△PQN进而得出，利用A，C坐标得出PQ=1，NQ=，即可得出答案；
（2）首先表示出NQ=，PD=4-t，再利用△PND的面积为y=进而利用二次函数最值求出即可；
（3）求出P点在A，D两点时N点位置，再利用勾股定理求出即可．
【解析】
（1）当t=1时，AP=1，过点N作NQ⊥AD于点Q，
∵把BP的中点M绕点P逆时针旋转90°到点N，
∴∠BPN=90°，
∴∠APB+∠QPN=90°，
∵∠PQN=90°，
∴∠QPN+∠QNP=90°，
∴∠APB=∠QNP，
又∵∠A=∠PQN=90°，
∴△BAP∽△PQN，
∴，
∴PQ=1，NQ=，
∴N（1，）；

（2）当点P运动时间为t秒时，
∵点A（-1，2），点C（3，0），
∴NQ=，PD=4-t，
∴△PND的面积=y===-（t-2）2+1，
当t=2时，y最大，
y最大=1．

（3）因为PQ=1，AP=t，点A（-1，2），
所以N（t，2-），
当t=0时，2-=2；则N点坐标为（0，2），
当t=4时，2-=0，则N′点坐标为（4，0），并且点N沿直线y=2-运动，
所以：点N运动的路程是：NN′==．