Question

如图，已知Rt△ABC，D₁是斜边AB的中点，过D₁作D₁E₁⊥AC于E₁，连接BE₁交CD₁于D₂；过D₂作D₂E₂⊥AC于E₂，连接BE₂交CD₁于D₃；过D₃作D₃E₃⊥AC于E₃，…，如此继续，可以依次得到点D₄，D₅，…，D_n，分别记△BD₁E₁，△BD₂E₂，△BD₃E₃，…，△BD_nE_n的面积为S₁，S₂，S₃，…S_n．则（ ）

A．S_n=S_△ABC
B．S_n=S_△ABC
C．S_n=S_△ABC
D．S_n=S_△ABC

Answer

首先证明构成等差数列，而=2，故=2+1•（n-1）=n+1，则可以得到△ABC与△BDnEn面积之间的关系，从而求解．
【解析】
∵S△BDnEn=S△CDnEn•CEn，
∴DnEn=D1E1•CEn•，而D1E1=BC，CE1=AC，
∴S△BDnEn=•BC••CEn=•CEn=BC•AC[]2
=S△ABC•[]2，
延长CD1至F使得D1F=CD1，
∴四边形ACBF为矩形．
∴===，
对于=，
两边均取倒数，
∴=1+，
即是-=1，
∴构成等差数列．
而=2，
故=2+1•（n-1）=n+1，
∴S△BDnEn=S△ABC•[]2，
则Sn=S△ABC．
故选D．