Question

如图，已知抛物线经过原点O和x轴上一点A（4，0），抛物线顶点为E，它的对称轴与x轴交于点D．直线y=-2x-1经过抛物线上一点B（-2，m）且与y轴交于点C，与抛物线的对称轴交于点F．
（1）求m的值及该抛物线对应的解析式；
（2）P（x，y）是抛物线上的一点，若S_△ADP=S_△ADC，求出所有符合条件的点P的坐标；
（3）点Q是平面内任意一点，点M从点F出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设点M的运动时间为t秒，是否能使以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形？若能，请直接写出点M的运动时间t的值；若不能，请说明理由．

Answer

（1）首先求出点B的坐标和m的值，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）△ADP与△ADC有共同的底边AD，因为面积相等，所以AD边上的高相等，即为1；从而得到点P的纵坐标为1，再利用抛物线的解析式求出点P的纵坐标；
（3）如解答图所示，在点M的运动过程中，依次出现四个菱形，注意不要漏解．针对每一个菱形，分别进行计算，求出线段MF的长度，从而得到运动时间t的值．
【解析】
（1）∵点B（-2，m）在直线y=-2x-1上
∴m=-2×（-2）-1=4-1=3，
所以，点B（-2，3），
又∵抛物线经过原点O，
∴设抛物线的解析式为y=ax2+bx，
∵点B（-2，3），A（4，0）在抛物线上，
∴，
解得：．
∴设抛物线的解析式为．

（2）∵P（x，y）是抛物线上的一点，
∴，
若S△ADP=S△ADC，
∵，，
又∵点C是直线y=-2x-1与y轴交点，
∴C（0，-1），
∴OC=1，
∴，即或，
解得：．
∴点P的坐标为 ．

（3）结论：存在．
∵抛物线的解析式为，
∴顶点E（2，-1），对称轴为x=2；
点F是直线y=-2x-1与对称轴x=2的交点，∴F（2，-5），DF=5．
又∵A（4，0），
∴AE=．
如右图所示，在点M的运动过程中，依次出现四个菱形：
①菱形AEM1Q1．
∵此时EM1=AE=，
∴M1F=DF-DE-DM1=4-，
∴t1=4-；
②菱形AEOM2．
∵此时DM2=DE=1，
∴M2F=DF+DM2=6，
∴t2=6；
③菱形AEM3Q3．
∵此时EM3=AE=，
∴DM3=EM3-DE=-1，
∴M3F=DM3+DF=（-1）+5=4+，
∴t3=4+；
④菱形AM4EQ4．
此时AE为菱形的对角线，设对角线AE与M4Q4交于点H，则AE⊥M4Q4，
∵易知△AED∽△M4EH，
∴，即，得M4E=，
∴DM4=M4E-DE=-1=，
∴M4F=DM4+DF=+5=，
∴t4=．
综上所述，存在点M、点Q，使得以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形；时间t的值为：t1=4-，t2=6，t3=4+，t4=．