Question

如图，在矩形ABCD中对角线AC、BD相交于点F，延长BC到点E，使得四边形ACED是一个平行四边形，平行四边形对角线AE交BD、CD分别为点G和点H．
（1）证明：DG²=FG•BG；
（2）若AB=5，BC=6，则线段GH的长度．

Answer

（1）由已知可证得△ADG∽△EBG，△AGF∽△EGD，根据相似三角形的对应边成比例即可得到DG2=FG•BG；
（2）由已知可得到DH，AH的长，又因为△ADG∽△EBG，从而求得AG的长，则根据GH=AH-AG就得到了线段GH的长度．
【解析】
（1）证明：∵ABCD是矩形，且AD∥BC，
∴△ADG∽△EBG．
∴=．
又∵△AGF∽△DGE，
∴=．
∴=．
∴DG2=FG•BG．

（2）∵ACED为平行四边形，AE，CD相交点H，
∴DH=DC=AB=．
∴在直角三角形ADH中，AH2=AD2+DH2
∴AH=．
又∵△ADG∽△BGE，
∴==．
∴AG=GE=×AE=×13=．
∴GH=AH-AG=-=．