Question

如图，已知平面直角坐标系xOy中，点A（2，m），B（-3，n）为两动点，其中m＞1，连接OA，OB，OA⊥OB，作BC⊥x轴于C点，AD⊥x轴于D点．
（1）求证：mn=6；
（2）当S_△AOB=10时，抛物线经过A，B两点且以y轴为对称轴，求抛物线对应的二次函数的关系式；
（3）在（2）的条件下，设直线AB交y轴于点F，过点F作直线l交抛物线于P，Q两点，问是否存在直线l，使S_△POF：S_△QOF=1：2？若存在，求出直线l对应的函数关系式；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据A、B的坐标，可得OC、OD、BC、AD的长，由于OA⊥OB，可证得△BOC∽△OAD，根据相似三角形所得比例线段，即可证得所求的结论．
（2）欲求抛物线的解析式，需先求出A、B的坐标；根据（1）的相似三角形，可得3OA=mOB，用OB表示出OA，代入△OAB的面积表达式中，可得到OB2的值，在Rt△BOC中，利用勾股定理可求得另外一个OB2的表达式，联立两式可得关于m、n的等式，结合（1）的结论即可求出m、n的值，从而确定A、B的坐标和抛物线的解析式．
（3）求直线l的解析式，需先求出P、Q的坐标，已知S△POF：S△QOF=1：2，由于两三角形同底不等高，所以面积比等于高的比，即P、Q两点横坐标绝对值的比，可设出点P的坐标，然后根据两者的比例关系表示出点Q的坐标，由于点Q在抛物线的图象上，可将其代入抛物线的解析式中，即可求得点P、Q的坐标，进而可利用待定系数法求得直线l的解析式．
证明：（1）∵A，B点坐标分别为（2，m），（-3，n），
∴BC=n，OC=3，OD=2，AD=m，
又∵OA⊥OB，易证△CBO∽△DOA，
∴，
∴，
∴mn=6．

【解析】
（2）由（1）得，，又S△AOB=10，
∴，
即BO•OA=20，
∴mBO2=60，
又∵OB2=BC2+OC2=n2+9，
∴m（n2+9）=60，
又∵mn=6①，
∴m（n2+9）=mn•n+9m=6n+9m=60，
∴2n+3m=20②，
∴①②联立得，m=6（m=不合题意，舍去），n=1；
∴A坐标为（2，6），B坐标为（-3，1），
易得抛物线解析式为y=-x2+10．

（3）直线AB为y=x+4，且与y轴交于F（0，4）点，
∴OF=4，
假设存在直线l交抛物线于P，Q两点，且使S△POF：S△QOF=1：2，如图所示，
则有PF：FQ=1：2，作PM⊥y轴于M点，QN⊥y轴于N点，
∵P在抛物线y=-x2+10上，
∴设P坐标为（t，-t2+10），
则FM=-t2+10-4=-t2+6，易证△PMF∽△QNF，
∴，
∴QN=2PM=-2t，NF=2MF=-2t2+12，
∴ON=-2t2+8，
∴Q点坐标为（-2t，2t2-8），
Q点在抛物线y=-x2+10上，2t2-8=-4t2+10，
解得，
∴P坐标为（-，7），Q坐标为（2，-2），
∴易得直线PQ为y=-x+4；
根据抛物线的对称性可得直线PQ的另解为y=x+4．