Question

两个反比例函数和（k₁＞k₂＞0）在第一象限内的图象如图所示，动点P在的图象上，PC⊥x轴于点C，交的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交的图象于点B．
（1）求证：四边形PAOB的面积是定值；
（2）当时，求的值；
（3）若点P的坐标为（5，2），△OAB、△ABP的面积分别记为S_△OAB′S_△ABP．设S=S_△OAB-S_△ABP′
①求k₁的值；
②当k₂为何值时，S有最大值，最大值为多少？

Answer

（1）让矩形OCPD的面积减去周围几个直角三角形的面积，其中面积应整理为和函数上的点的坐标有关的式子；
（2）利用（1）中两个三角形的面积相等，得到相关线段的比值；
（3）把P坐标代入所在的反比例函数即可求得比例系数的值；所求面积为（1）中所求的面积减去2个△ABP的面积，整理为二次函数的一般形式，求出最值．
（1）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3），
△AOC与△BOD的面积分别为S1，S2，矩形PCOD的面积为S3，
由题意，得，，，
∴，，S3=x3y3=k1，
∴S四边形PAOB=S3-（S1+S2）=K1-K2，
∴四边形PAOB的面积是定值；（2分）

（2）【解析】
由（1）可知S1=S2，则OD•BD=OC•AC
又∵
∴
∵DP=OC，OD=PC
∴
∴；（4分）

（3）【解析】
①由题意知：k1=xPyP=10；（5分）
②A、B两点坐标分别为，
∴
∴
∴
∴当k2=5时，s有最大值．（7分）