Question

在Rt△ABC中，AB=BC=4，∠B=90°，将一直角三角板的直角顶点放在斜边AC的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别与边AB、BC或其延长线上交于D、E两点（假设三角板的两直角边足够长），如图（1）、图（2）表示三角板旋转过程中的两种情形．
（1）直角三角板绕点P旋转过程中，当BE=______

Answer

（1）根据△PEC是等腰三角形，分类进行讨论即可；
（2）连接BP，首先根据题干条件证明出∠BPD=∠CPE，然后证明△DPB≌△EPC，于是证明出PD=PE；
（3）过M分别作AB、BC的垂线，垂足分别为G、H，首先根据角之间的关系求出∠GMD=∠HME，进而证明出△MGD∽△MHE，根据相似三角形对应边成比例，得到，再求出GM、HM关于m、n的表达式，三式结合求出MD、ME之间的比例关系．
（1）【解析】
当BE=0时，即点B和点E重合，故可知△PEC是等腰三角形，
当BE=2时，即E是BC的中点，可得△PEC是等腰三角形
由题干条件知PC=2，当CP=CE时△PEC是等腰三角形，BE=4-2； 
当E在BC的延长线上时，CE=CP，△PEC是等腰三角形，BE=4+2；
故答案为0、2或4±2．   

（2）证明：连接BP．
∵AB=BC 且∠ABC=90°，
∴∠C=45°，
又∵P是AC中点，
∴BP⊥AC，BP=PC 且∠ABP=∠CBP=45°，
∴∠CPE+∠EPB=90°，
∵DP⊥PE，
∴∠BPD+∠EPB=90°，
∴∠BPD=∠CPE，
在△DPB和△EPC中
∵，
∴△DPB≌△EPC，
∴PD=PE，

（3）【解析】
MD、ME的数量关系是：，
理由如下：
过M分别作AB、BC的垂线，垂足分别为G、H．
由作图知，∠MGA=∠MGB=∠MHB=∠MHE=90°
又∵∠B=90°，
∴∠GMH=90°，
∴∠GMD+∠DMH=90°，
∵∠DMH+∠HME=90°，
∴∠GMD=∠HME
∴△MGD∽△MHE，
∴①，
∵，
∴，
∵∠MGA=∠B=90°，
∴GM∥BC，
∴即②
同理 ，
∵AB=BC，
∴③
②③代入①得．