Question

如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）．抛物线y=ax²+bx过A、C两点．
（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；
（2）动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．
①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G．当t为何值时，线段EG最长？
②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形？请直接写出相应的t值．

Answer

（1）由于四边形ABCD为矩形，所以A点与D点纵坐标相同，A点与B点横坐标相同；
（2）①根据相似三角形的性质求出点E的横坐标表达式即为点G的横作标表达式．代入二次函数解析式，求出纵标表达式，将线段最值问题转化为二次函数最值问题解答．
②若构成等腰三角形，则三条边中有两条边相等即可，于是可分EQ=QC，EC=CQ，EQ=EC三种情况讨论．若有两种情况时间相同，则三边长度相同，为等腰三角形．
【解析】
（1）因为点B的横坐标为4，点D的纵坐标为8，AD∥x轴，AB∥y轴，所以点A的坐标为（4，8）．
将A（4，8）、C（8，0）两点坐标分别代入y=ax2+bx得，
解得a=-，b=4．
故抛物线的解析式为：y=-x2+4x；

（2）①在Rt△APE和Rt△ABC中，tan∠PAE==，即=．
∴PE=AP=t．PB=8-t．
∴点E的坐标为（4+t，8-t）．
∴点G的纵坐标为：-（4+t）2+4（4+t）=-t2+8．
∴EG=-t2+8-（8-t）=-t2+t．
∵-＜0，∴当t=4时，线段EG最长为2．
②共有三个时刻．
（①）当EQ=QC时，
因为Q（8，t），E（4+t，8-t），QC=t，
所以根据两点间距离公式，得：
（t-4）2+（8-2t）2=t2．
整理得13t2-144t+320=0，
解得t=或t==8（此时E、C重合，不能构成三角形，舍去）．
（②）当EC=CQ时，
因为E（4+t，8-t），C（8，0），QC=t，
所以根据两点间距离公式，得：
（4+t-8）2+（8-t）2=t2．
整理得t2-80t+320=0，t=40-16，t=40+16＞8（此时Q不在矩形的边上，舍去）．
（③）当EQ=EC时，
因为Q（8，t），E（4+t，8-t），C（8，0），
所以根据两点间距离公式，得：（t-4）2+（8-2t）2=（4+t-8）2+（8-t）2，
解得t=0（此时Q、C重合，不能构成三角形，舍去）或t=．
于是t1=，t2=，t3=40-16．