Question

已知：关于x的一元二次方程mx²-（2m+n）x+m+n=0①．
（1）求证：方程①有两个实数根；
（2）求证：方程①有一个实数根为1；
（3）设方程①的另一个根为x₁，若m+n=2，m为正整数且方程①有两个不相等的整数根时，确定关于x的二次函数y=mx²-（2m+n）x+m+n的解析式；
（4）在（3）的条件下，把Rt△ABC放在坐标系内，其中∠CAB=90°，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），BC=5，将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在抛物线上时，求△ABC平移的距离．

Answer

（1）首先表示出方程①的根的判别式，若方程有两个实数根，那么判别式应大于等于0，结合非负数的性质进行证明即可．
（2）可利用十字相乘法将方程左边进行因式分解，即可得到方程必有一根为1．
（3）由（2）可得x1的表达式，即x1=，若m+n=2，且x1为整数，那么m可取1或2，然后结合（1）（2）的结论将不合题意的m值舍去，即可确定m的值，进而可得抛物线的解析式．
（4）首先根据已知条件确定出点C的坐标；然后设出平移后的点C坐标，由于此时C点位于抛物线的图象上，可将其代入抛物线的解析式中，即可确定出平移后的点C坐标，进而可得平移的距离．
证明：（1）∵a=m，b=-（2m+n），c=m+n
∴△=b2-4ac=[-（2m+n）]2-4m（m+n）
=4m2+4mn+n2-4m2-4mn
=n2（1分）
∵无论n取何值时，都有n2≥0
∴△≥0
∴方程①有两个实数根．（2分）

（2）∵原方程可化为：（mx-m-1）（x-1）=0，（3分）
∴；
∴方程①有一个实数根为1．（4分）

（3）由题意可知：方程①的另一个根为，
∵m+n=2，m为正整数且方程①有两个不相等的整数根，
∴m=1，
∴二次函数的解析式：y=x2-3x+2．（5分）

（4）由题意可知：AB=3，
由勾股定理得：AC=4
∴C点的坐标为（1，4）
当△ABC沿x轴向右平移，此时设C点的坐标为（a，4）（6分）
∵C在抛物线上，
∴，
∴，舍去负值，
∴；
∴△ABC平移的距离：．（7分）