Question

如图，AB是半圆O的直径，AB=2．射线AM、BN为半圆O的切线．在AM上取一点D，连接BD交半圆于点C，连接AC．过O点作BC的垂线OE，垂足为点E，与BN相交于点F．过D点作半圆O的切线DP，切点为P，与BN相交于点Q．
（1）求证：△ABC∽△OFB；
（2）当△ABD与△BFO的面枳相等时，求BQ的长；
（3）求证：当D在AM上移动时（A点除外），点Q始终是线段BF的中点．

Answer

（1）根据OE∥AC，得出∠BAC=∠FOB，进而得出∠BCA=∠FBO=90°，从而证明结论；
（2）根据△ACB∽△OBF得出△ABD∽△BFO，从而得出DQ∥AB，即可得出BQ=AD；
（3）首先得出AD=DP，QB=BQ，进而得出DQ2=QK2+DK2，得出BF=2BQ，即可得出Q为BF的中点．
（1）证明：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，即：AC⊥BC，
又OE⊥BC，
∴OE∥AC，
∴∠BAC=∠FOB，
∵BN是半圆的切线，
∴∠BCA=∠FBO=90°，
∴△ABC∽△OFB．

（2）【解析】
由△ACB∽△OBF得，∠OFB=∠DBA，∠BCA=∠FBO=90°，
∵AM、BN是⊙O的切线，
∴∠DAB=∠OBF=90°，
∴△ABD∽△BFO，
∴当△ABD与△BFO的面积相等时，△ABD≌△BFO，
∴AD=OB=1，
∵DP切圆O，DA切圆O，
∴DP=DA，
∵△ABD≌△BFO，
∴DA=BO=PO=DP，
又∵∠DAO=∠DPO=90°，
∴四边形AOPD是正方形，
∴DQ∥AB，
∴四边形ABQD是矩形，
∴BQ=AD=1；

（3）证明：由（2）知，△ABD∽△BFO，
∴=，
∴BF===，
∵DP是半圆O的切线，射线AM、BN为半圆O的切线，
∴AD=DP，QB=QP，
过Q点作AM的垂线QK，垂足为K，在Rt△DQK中，
DQ2=QK2+DK2，
∴（AD+BQ）2=（AD-BQ）2+22．
∴BQ=，
∴BF=2BQ，
∴Q为BF的中点．