Question

已知抛物线C₁的函数解析式为y=ax²+bx-3a（b＜0），若抛物线C₁经过点（0，-3），方程ax²+bx-3a=0的两根为x₁，x₂，且|x₁-x₂|=4．
（1）求抛物线C₁的顶点坐标．
（2）已知实数x＞0，请证明x+≥2，并说明x为何值时才会有x+=2．
（3）若将抛物线先向上平移4个单位，再向左平移1个单位后得到抛物线C₂，设A（m，y₁），B（n，y₂）是C₂上的两个不同点，且满足：∠AOB=90°，m＞0，n＜0．请你用含m的表达式表示出△AOB的面积S，并求出S的最小值及S取最小值时一次函数OA的函数解析式．
（参考公式：在平面直角坐标系中，若P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则P，Q两点间的距离为）

Answer

（1）求抛物线的顶点坐标，需要先求出抛物线的解析式，即确定待定系数a、b的值．已知抛物线图象与y轴交点，可确定解析式中的常数项（由此得到a的值）；然后从方程入手求b的值，题干给出了两根差的绝对值，将其进行适当变形（转化为两根和、两根积的形式），结合根与系数的关系即可求出b的值．
（2）x•=1，因此将x+配成完全平方式，然后根据平方的非负性即可得证．
（3）结合（1）的抛物线的解析式以及函数的平移规律，可得出抛物线C2的解析式；在Rt△OAB中，由勾股定理可确定m、n的关系式，然后用m列出△AOB的面积表达式，结合不等式的相关知识可确定△OAB的最小面积值以及此时m的值，进而由待定系数法确定一次函数OA的解析式．
【解析】
（1）∵抛物线过（0，-3）点，∴-3a=-3
∴a=1
∴y=x2+bx-3
∵x2+bx-3=0的两根为x1，x2且|x1-x2|=4
∴|x1-x2|==4，且b＜0
∴b=-2
∴y=x2-2x-3=（x-1）2-4
∴抛物线C1的顶点坐标为（1，-4）．

（2）∵x＞0，∴x+-2=（-）2≥0
∴x+≥2，显然当x=1时，才有x+=2．

（3）由平移知识易得C2的解析式为：y=x2
∴A（m，m2），B（n，n2）
∵△AOB为直角三角形，
∴OA2+OB2=AB2
∴m2+m4+n2+n4=（m-n）2+（m2-n2）2
化简得：m n=-1
∴S△AOB==
==（m+）≥•2=1
∴S△AOB的最小值为1，此时m=1，A（1，1）
∴直线OA的一次函数解析式为y=x．