Question

如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，CD⊥AB于D，且AB=8，DB=2．
（1）求证：△ABC∽△CBD；
（2）求图中阴影部分的面积．（结果精确到0.1，参考数据）

Answer

（1）根据直径所对的圆周角是直角，得到直角三角形ABC，再根据两角对应相等即可证明三角形相似；
（2）结合图形，知阴影部分的面积即为半圆的面积减去直角三角形ABC的面积．根据相似三角形的性质即可求得BC的长，再根据勾股定理求得AC的长，从而求解．
（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
又CD⊥AB，
∴∠CDB=90°．
在△ABC与△CBD中，
∠ACB=∠CDB=90°，∠B=∠B，
∴△ABC∽△CBD．

（2）【解析】
∵△ABC∽△CBD，
∴．
∴CB2=DB•AB．
∵AB=8，DB=2，
∴CB=4．
在Rt△ABC中，，
∴．
∴S阴影部分=．