Question

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P是反比例函数y=（x＞0）图象上的任意一点，以P为圆心，PO为半径的圆与x、y轴分别交于点A、B．
（1）判断P是否在线段AB上，并说明理由；
（2）求△AOB的面积；
（3）Q是反比例函数y=（x＞0）图象上异于点P的另一点，请以Q为圆心，QO半径画圆与x、y轴分别交于点M、N，连接AN、MB．求证：AN∥MB．

Answer

（1）点P在线段AB上，由O在⊙P上，且∠AOB=90°得到AB是⊙P的直径，由此即可证明点P在线段AB上；
（2）如图，过点P作PP1⊥x轴，PP2⊥y轴，由题意可知PP1、PP2是△AOB的中位线，故S△AOB=OA×OB=×2PP1×PP2
而P是反比例函数y=（x＞0）图象上的任意一点，由此即可求出PP1×PP2=6，代入前面的等式即可求出S△AOB；
（3）如图，连接MN，根据（1）（2）则得到MN过点Q，且S△MON=S△AOB=12，然后利用三角形的面积公式得到OA•OB=OM•ON，然后证明△AON∽△MOB，最后利用相似三角形的性质即可解决问题．
（1）【解析】
点P在线段AB上，理由如下：
∵点O在⊙P上，且∠AOB=90°
∴AB是⊙P的直径
∴点P在线段AB上．

（2）【解析】
过点P作PP1⊥x轴，PP2⊥y轴，
由题意可知PP1、PP2，是△AOB的中位线，
故S△AOB=OA×OB=×2PP1×2PP2
∵P是反比例函数y=（x＞0）图象上的任意一点
∴S△AOB=OA×OB=×2PP1×2PP2=2PP1×PP2=12．

（3）证明：如图，连接MN，则MN过点Q，且S△MON=S△AOB=12．
∴OA•OB=OM•ON
∴
∵∠AON=∠MOB
∴△AON∽△MOB
∴∠OAN=∠OMB
∴AN∥MB．