Question

已知△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，D是腰AC上的一个动点，过C作CE垂直于BD或BD的延长线，垂足为E，如图．

（1）若BD是AC的中线，求的值；
（2）若BD是∠ABC的角平分线，求的值；
（3）结合（1）、（2），试推断的取值范围（直接写出结论，不必证明），并探究的值能小于吗？若能，求出满足条件的D点的位置；若不能，说明理由．

Answer

先设AB=AC=2a，CD=a，则BC=a，AD=a．求出BD，又求得Rt△ABD∽Rt△ECD，
（1）BD是AC的中线，则CD=AD=x=，则解得；
（2）BD是∠ABC的角平分线，则求得x，y值；
（3）由以上两个问题，从的比值求得x的值，则求得的值．
【解析】
（1）设CD=AD=a，则AB=AC=2a，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD=a，
∵∠A=∠E=90°，∠ADB=∠EDC，
∴△BAD∽△CED，
∴=，
∴=，
解得：CE=，
∴==；

（2）过点D作DF⊥BC于F，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴AD=DF，
∵在Rt△ABC中，cos∠ABC==，
在Rt△CDF中，sin∠DCF==，
即=，
∴=，
即=，
∴CD=2（2-）a，
∴AD=AC-CD=2a-2（2-）a=2（-1）a，
∴BD2=AD2+AB2=8（2-）a2，
∵Rt△ABD∽Rt△CED，
∴CE==a2．
∴===2．

（3）当D在A点时，=1，
当D越来越接近C时，越来越接近无穷大，
∴的取值范围是≥1．
设AB=AC=1，CD=x，AD=1-x，
在Rt△ABD中，BD2=12+（1-x）2，
又∵Rt△ABD∽Rt△ECD，
∴=，即=，
解得：CE=，
若，则有3x2-10x+6=0，
∵0＜x≤1，
∴解得
∴，
表明随着点D从A向C移动时，BD逐渐增大，而CE逐渐减小，的值则随着D从A向C移动而逐渐增大，
∴探究的值能小于，此时AD=．