Question

平面上的点M关于直线l有唯一的轴对称点M′，这样平面上的任意一点就与该点关于这条直线的轴对称点之间建立了一种对应关系，我们把这种对应关系叫做点M关于直线l的轴对称变换，记为MM′（l），点M的轴对称点就记为M′（l），如图（1）所示．如果先作平面上的点M关于直线l的轴对称变换，MM′（l），M得到对应点M′（l），然后，再作M′（l）关于另外一条直线m的轴对称变换，M′（l）M″（l，m），这样点M就与该点关于直线l和m的轴对称点M″（l，m）之 间建立了一种对应关系，我们把这种对应关系就叫做点M关于直线l和m的轴对称变换，M′（l）M″（l，m），记为，M的对应点就记为M″（l，m）．如图（2），M是平面上的一点，直线l、m相交所成的角为θ（0°＜θ≤90°），且交点为O，请回答如下问题：
（1）在备用图中，请画出M′（l）和M″（l，m）（保留画图痕迹）．
（2）当θ=______°时，M与M″（l，m）关于点O成中心对称．
（3）试探究∠MOM′′与θ之间的数量关系，并说明理由．

Answer

（1）作出M关于l的对称点M′，再作出M′关于m的对称点即可求解；
（2）M与M′关于l对称，则l是MM′的垂直平分线，则∠MOE=∠M′OE，同理∠FOM″=∠FOM′，即可得到∠MOM″=2∠EOF，从而求解；
（3）解法与（2）相同．
【解析】
（1）

（2）当M与M″（l，m）关于点O成中心对称时，∠MOM″=180°，
∵M与M′关于l对称，
∴∠MOE=∠M′OE，同理∠FOM″=∠FOM′，
∴∠MOM″=2∠EOF=2θ=180°
∴∠θ=90°．
故答案是：90；
（3）∠MOM″=2θ．
证明：∵M与M′关于l对称，
∴∠MOE=∠M′OE，同理∠FOM″=∠FOM′，
∴∠MOM″=2∠EOF=2θ．