Question

如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为（2，4），直线x=2与x轴相交于点B，连接OA，抛物线y=x²从点O沿OA方向平移，与直线x=2交于点P，顶点M到A点时停止移动．
（1）求线段OA所在直线的函数解析式；
（2）设抛物线顶点M的横坐标为m，
①用m的代数式表示点P的坐标；
②当m为何值时，线段PB最短；
（3）当线段PB最短时，相应的抛物线上是否存在点Q，使△QMA的面积与△PMA的面积相等？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据A点的坐标，用待定系数法即可求出直线OA的解析式．
（2）①由于M点在直线OA上，可根据直线OA的解析式来表示出M点的坐标，因为M点是平移后抛物线的顶点，因此可用顶点式二次函数通式来设出这个二次函数的解析式，P的横坐标为2，将其代入抛物线的解析式中即可得出P点的坐标．
②PB的长，实际就是P点的纵坐标，因此可根据其纵坐标的表达式来求出PB最短时，对应的m的值．
（3）根据（2）中确定的m值可知：M、P点的坐标都已确定，因此AM的长为定值，若要使△QMA的面积与△PMA的面积相等，那么Q点到AM的距离和P到AM的距离应该相等，因此可分两种情况进行讨论：
①当Q在直线OA下方时，可过P作直线OA的平行线交y轴于C，那么平行线上的点到OA的距离可相等，因此Q点必落在直线PC上，可先求出直线PC的解析式，然后利用抛物线的解析式，看得出的方程是否有解，如果没有则说明不存在这样的Q点，如果有解，得出的x的值就是Q点的横坐标，可将其代入抛物线的解析式中得出Q点的坐标．
②当Q在直线OA上方时，同①类似，可先找出P关于A点的对称点D，过D作直线OA的平行线交y轴于E，那么直线DE上的点到AM的距离都等于点P到AM上的距离，然后按①的方法进行求解即可．
（本题也可通过以AP为底，找出和点M到AP的距离相等的两条直线，然后联立抛物线的解析式进行求解即可）．
【解析】
（1）设OA所在直线的函数解析式为y=kx，
∵A（2，4），
∴2k=4，
∴k=2，
∴OA所在直线的函数解析式为y=2x．

（2）①∵顶点M的横坐标为m，且在线段OA上移动，
∴y=2m（0≤m≤2）．
∴顶点M的坐标为（m，2m）．
∴抛物线函数解析式为y=（x-m）2+2m．
∴当x=2时，y=（2-m）2+2m=m2-2m+4（0≤m≤2）．
∴点P的坐标是（2，m2-2m+4）．
②∵PB=m2-2m+4=（m-1）2+3，
又∵0≤m≤2，
∴当m=1时，PB最短．

（3）当线段PB最短时，此时抛物线的解析式为y=（x-1）2+2
即y=x2-2x+3．
假设在抛物线上存在点Q，使S△QMA=S△PMA．
设点Q的坐标为（x，x2-2x+3）．
①点Q落在直线OA的下方时，过P作直线PC∥AO，交y轴于点C，
∵PB=3，AB=4，
∴AP=1，
∴OC=1，
∴C点的坐标是（0，-1）．
∵点P的坐标是（2，3），
∴直线PC的函数解析式为y=2x-1．
∵S△QMA=S△PMA，
∴点Q落在直线y=2x-1上．
∴x2-2x+3=2x-1．
解得x1=2，x2=2，
即点Q（2，3）．
∴点Q与点P重合．
∴此时抛物线上存在点Q（2，3），使△QMA与△APM的面积相等．
②当点Q落在直线OA的上方时，
作点P关于点A的对称称点D，过D作直线DE∥AO，交y轴于点E，
∵AP=1，
∴EO=DA=1，
∴E、D的坐标分别是（0，1），（2，5），
∴直线DE函数解析式为y=2x+1．
∵S△QMA=S△PMA，
∴点Q落在直线y=2x+1上．
∴x2-2x+3=2x+1．
解得：x1=2+，x2=2-．
代入y=2x+1得：y1=5+2，y2=5-2．
∴此时抛物线上存在点Q1（2+，5+2），Q2（2-，5-2）
使△QMA与△PMA的面积相等．
综上所述，抛物线上存在点，Q1（2+，5+2），Q2（2-，5-2），Q3（2，3），使△QMA与△PMA的面积相等．