Question

如图，四边形ABCD是矩形，直线l垂直平分线段AC，垂足为O，直线l分别与线段AD、CB的延长线交于点E、F．与AB交于点M．
（1）求证：△ABC∽△AOM；
（2）试判定四边形AFCE的形状，并说明理由．

Answer

（1）根据垂直的定义，矩形的性质可知∠ABC=∠AOM=90°，再由公共角相等即可判定△ABC与△AOM相似；
（2）四边形AFCE是菱形，先证明四边形AFCM是平行四边形，再根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形作出判断．
（1）证明：
∵直线l垂直平分线段AC，
∴∠AOM=∠AOE=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∵∠MAO=∠CAB，
∴△ABC∽△AOM；
（2）四边形AFCE是菱形，
理由如下：由（1）知△ABC∽△FOA，
∴∠ACB=∠FAC，
∵AD∥BC，
∴∠ACB=∠EAC，
∴∠FAC=∠EAC，
在△AOF与△AOE中，
，
∴△AOF≌△AOE，
∴AE=AF，FO=EO．
∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴四边形AFCE是菱形．