Question

如图，已知直线y=-m（x-4）（m＞0）与x轴、y轴分别交于A、B两点，以OA为直径作半圆，圆心为C．过A作x轴的垂线AT，M是线段OB上一动点（与O点不重合），过M点作半圆的切线交直线AT于N，交AB于F，切点为P．连接CN、CM．
（1）证明：∠MCN=90°；
（2）设OM=x，AN=y，求y关于x的函数解析式；
（3）若OM=1，当m为何值时，直线AB恰好平分梯形OMNA的面积．

Answer

（1）如图推出AT，OM是⊙C的切线．得出∠CMN=∠OMN，∠CNM=∠ANM，根据∠CMN+∠CNM=90°，求出∠MCN；
（2）由1推出∠1=∠3，证明Rt△MOC∽Rt△CAN，利用线段比求出点A的坐标，从而求出y关于x的函数解析式；
（3）因为直线AB平分梯形ANMO的面积推出FG的长．求出直线MN的解析式后因为点F在直线MN上，易求点F的坐标．然后又因为点F在直线y=-m（x-4）求出m值．
证明：（1）∵AT⊥AO，OM⊥AO，AO是⊙C的直径，
∴AT、OM是⊙C的切线，
又∵MN切⊙C于点P，
∴∠CMN=∠OMN，∠CNM=∠ANM，
∵OM∥AN，
∴∠ANM+∠OMN=180°，
∴∠CMN+∠CNM=∠OMN+∠ANM=（∠OMN+∠ANM）=90°，
∴∠MCN=90°；

【解析】
（2）由（1）可知：∠1+∠2=90°，而∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3；
∴Rt△MOC∽Rt△CAN，
∴=，
∵直线y=-m（x-4）交x轴于点A，交y轴于点B，
∴0=-m（x-4），
∴x=4，
∴A（4，0），
∴AC=CO=2，
∵OM=x，AN=y，
∵=，
∴y=；

（3）
∵OM=1，
∴AN=y=4，此时S四边形ANMO=10，
∵直线AB平分梯形ANMO的面积，
∴△ANF的面积为5过点F作FG⊥AN于G，则FG•AN=5，
∴FG=，
∴点F的横坐标为4-=，
∵M（0，1），N（4，4），
∴直线MN的解析式为y=x+1，
∵F点在直线MN上，
∴F点的纵坐标为y=，
∴F（，），
∵点F又在直线y=-m（x-4）上，
∴=-m（-4），
∴m=．