Question

如图，直线CD经过线段AB的一个端点B，∠ABC=50°，点P为直线CD上一点；已知△PAB是以AB为底边的等腰三角形，⊙O是以AB为直径的圆．
（1）用圆规和直尺在图中找出点P，并作出⊙O；
（2）用圆规和直尺过点P作出⊙O的一条切线；
（3）若将将条件“∠ABC=50°”改为“∠ABC=α（0°＜α＜90°）”讨论当α在不同范围内时过点P能作⊙O的切线的条数．（第（1）、（2）小题保留作图痕迹，不必写作法和证明）

Answer

（1）由△PAB是以AB为底边的等腰三角形，即PA=PB，故P点在线段AB的垂直平分线上；
（2）设过P点的直线与⊙O相切于E点，则∠POE=90°，故应以OP为直径作圆交⊙O于点E，连接PE即可；
（3）当α=45°时，OP=OB，且PA=PB，故P点在圆上，过点P能作⊙O的1条切线，当0°＜α＜45°时，P点在圆内，过点P能作⊙O的0条切线，当45°＜α＜90°时，P点在圆外，过点P能作⊙O的2条切线．
【解析】
（1）如图，作AB的中垂线交直线CD于点P，
则点P即为所求的点；

（2）以OP为直径作圆交⊙O于点E，
则直线PE即是⊙O的一条切线；

（3）当0°＜α＜45°时，过点P能作⊙O的0条切线，
当α=45°时，过点P能作⊙O的1条切线，
当45°＜α＜90°时，过点P能作⊙O的2条切线．