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如图,⊙O的直径AB=6,C为圆周上一点,AC=3,过点C作⊙O的切线l,过点B...

如图,⊙O的直径AB=6,C为圆周上一点,AC=3,过点C作⊙O的切线l,过点B作l的垂线BD,垂足为D,BD与⊙O交于点E.
(1)求∠AEC的度数;  
(2)求证:四边形OBEC是菱形.

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(1)由直径AB的长,求出半径OA及OC的长,再由AC的长,得到△OAC三边相等,可得此三角形为等边三角形,根据等边三角形的性质得到∠AOC=60°,再根据同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍,即可得出∠AEC的度数; (2)由直线l与圆O相切,根据切线的性质得到OC与直线l垂直,又BD与直线l垂直,根据在同一平面内,垂直于同一条直线的两直线平行得到BE∥OC,根据两直线平行同位角相等,可得出∠B=∠AOC=60°,再由AB为圆O的直径,根据直径所对的圆周角为直角,可得出∠AED=90°,再求出∠DEC=60°,可得出∠B=∠DEC,根据同位角相等两直线平行,可得出EC∥OB平行,根据两组对边平行的四边形为平行四边形可得出四边形OBEC为平行四边形,再由半径OC=OB,根据邻边相等的平行四边形为菱形可得出OBEC为菱形. 【解析】 (1)∵OA=OC=AB=3,AC=3, ∴OA=OC=AC, ∴△OAC为等边三角形, ∴∠AOC=60°, ∵圆周角∠AEC与圆心角∠AOC都是, ∴∠AEC=∠AOC=30°; (2)∵直线l切⊙O于C, ∴OC⊥CD, 又∵BD⊥CD, ∴OC∥BD, ∴∠B=∠AOC=60°, ∵AB为⊙O直径, ∴∠AEB=90°, 又∵∠AEC=30°, ∴∠DEC=90°-∠AEC=60°, ∴∠B=∠DEC, ∴CE∥OB, ∴四边形OBCE为平行四边形, 又∵OB=OC, ∴四边形OBCE为菱形.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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