Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（-3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且∠APD=∠ACB，求点P的坐标；
（3）点Q在直线BC上方的抛物线上，且点Q到直线BC的距离最远，求点Q坐标．

Answer

（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数的值；
（2）根据（1）得到的函数解析式，可求出D、C的坐标；易证得△OBC是等腰Rt△，若过A作BC的垂线，设垂足为E，在Rt△ABE中，根据∠ABE的度数及AB的长即可求出AE、BE、CE的长；连接AC，设抛物线的对称轴与x轴的交点为F，若∠APD=∠ACB，那么△AEC与△AFP，根据得到的比例线段，即可求出PF的长，也就求得了P点的坐标；
（3）当Q到直线BC的距离最远时，△QBC的面积最大（因为BC是定长），可过Q作y轴的平行线，交BC于S；根据B、C的坐标，易求出直线BC的解析式，可设出Q点的坐标，根据抛物线和直线BC的解析式，分别表示出Q、S的纵坐标，即可得到关于QS的长以及Q点横坐标的函数关系式，以QS为底，B、C横坐标差的绝对值为高可得到△QBC的面积，由于B、C横坐标差的绝对值为定值，那么QS最长时，△QBC的面积最大，此时Q离BC的距离最远；可根据上面得到的函数的性质求出QS的最大值及对应的Q点横坐标，然后将其代入抛物线的解析式中，即可求出Q点的坐标．
【解析】
（1）∵抛物线y=-x2+bx+c经过A（-1，0），B（-3，0），
∴
解得：
∴抛物线的解析式为y=-x2-4x-3（4分）

（2）由y=-x2-4x-3
可得D（-2，1），C（0，-3）
∴OB=3，OC=3，OA=1，AB=2
可得△OBC是等腰直角三角形
∴∠OBC=45°，（5分）
如图，设抛物线对称轴与x轴交于点F，
∴
过点A作AE⊥BC于点E
∴∠AEB=90°
可得，（6分）
在△AEC与△AFP中，∠AEC=∠AFP=90°，∠ACE=∠APF，
∴△AEC∽△AFP（7分）
∴，，
解得PF=2（8分）
∵点P在抛物线的对称轴上，
∴点P的坐标为（-2，2）或（-2，-2）（9分）

（3）设直线BC的解析式y=kx+b，
直线BC经过B（-3，0），C（0，-3），
∴
解得：k=-1，b=-3，
∴直线BC的解析式y=-x-3（10分）
设点Q（m，n），过点Q作QH⊥BC于H，并过点Q作QS∥y轴交直线BC于点S，则S点坐标为（m，-m-3）
∴QS=n-（-m-3）=n+m+3（11分）
∵点Q（m，n）在抛物线y=-x2-4x-3上，
∴n=-m2-4m-3
∴QS=-m2-4m-3+m+3
=-m2-3m
=
当m=时，QS有最大值（12分）
∵BO=OC，∠BOC=90°，
∴∠OCB=45°
∵QS∥y轴，
∴∠QSH=45°
∴△QHS是等腰直角三角形；
∴当斜边QS最大时QH最大；（13分）
∵当m=时，QS最大，
∴此时n=-m2-4m-3=-+6-3=；
∴Q（-，）；（14分）
∴Q点的坐标为（-，）时，点Q到直线BC的距离最远．
（注：1、如果学生有不同的解题方法，只要正确，可参考评分标准，酌情给分；2、对第（3）题，如果只用△=0求解，扣（2分）．理由：△=0判断只有一个交点，不是充分条件）