Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连结DE并延长，与BC的延长线交于点F．
（1）求证：BD=BF；
（2）若BC=6，AD=4，求sinA的值．

Answer

（1）利用三角形中位线定理证得OE∥BC．所以由平行线的性质、等腰三角形的性质推知∠ODE=∠F，则易证得结论；
（2）设⊙O半径为r．根据相似三角形△AOE∽△ABC的对应边成比例列出关于半径r的方程，通过解方程即可求得r的值．然后通过解Rt△AOE来求sinA的值．
（1）证明：连结OE．
∵AC切⊙O于E，
∴OE⊥AC，
又∵∠ACB=90°即OE⊥AC，
∴OE∥BC
∴∠OED=∠F．
又∵OD=OE，
∴∠OED=∠ODE，
∴∠ODE=∠F
∴BD=BF；

（2）【解析】
设⊙O半径为r，由（1）知，OE∥BC得△AOE∽△ABC．
∴，即，
∴r2-r-12=0，
解之得r1=4，r2=-3（舍去）．
在Rt△AOE中，
∴sinA=．